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M 估计法，估计均值
M 估计法，估计标准差

本文主要介绍了 ISO 13528 的附件 D 的条款 D.1.4.2 中的 NOTE 3 的 p≥4p\geq 4p≥4 中提及的 M 估计，参考文献为： ROUSSEEUW P.J & VERBOVEN S.Comput. Stat. Data Anal. 2002, 40 pp. 741-758

M 估计法，估计均值

M 估计法算均值的原理在于求解下述方程：
ave[f(xi−TnSn)]=0\text{ave}[ f(\frac{x_i-T_n}{S_n})] = 0 ave[f(Snxi−Tn)]=0
其中 TnT_nTn 是对均值的估计值（方程的解即为 M 算法估计均值的结果），SnS_nSn 为对方差平方根（标准差）的估计。

对于小样本来说（n∈[4,8]n\in[4, 8]n∈[4,8]），SnS_nSn 取 MADe，即：
MADe(X)=1.4826×medn(∣xi−medn(X)∣)\text{MADe}(X) = 1.4826 \times \text{med}_n (|x_i - \text{med}_n(X)|) MADe(X)=1.4826×medn(∣xi−medn(X)∣)
对于上述方程，函数在小样本n∈[4,8]n\in[4,8]n∈[4,8]来说，函数一般取 pshi 函数，如下：

ψlog(x)=ex−1ex+1\psi_{log}(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1} ψlog(x)=ex+1ex−1
图像为：

若取 pshi 函数作为 f(x)f(x)f(x)，则上述方程是没有代数解的，所以需要算数值解，这里用的方法是牛顿法，取 TnT_nTn 的初始值为中位数，迭代方法为：
Tn(k)=Tn(k−1)+Snave⁡i=1nψ((xi−Tn(k−1))/Sn)ave⁡i=1nψ′((xi−Tn(k−1))/Sn)T_{n}^{(k)}=T_{n}^{(k-1)}+S_{n} \frac{\operatorname{ave}_{i=1}^{n} \psi\left(\left(x_{i}-T_{n}^{(k-1)}\right) / S_{n}\right)}{\operatorname{ave}_{i=1}^{n} \psi^{\prime}\left(\left(x_{i}-T_{n}^{(k-1)}\right) / S_{n}\right)} Tn(k)=Tn(k−1)+Snavei=1nψ′((xi−Tn(k−1))/Sn)avei=1nψ((xi−Tn(k−1))/Sn)
直到收敛，即求出估计值。

我们用 x = np.random.normal(5, 1, 8) 产生 8 个从正态分布产生的数：

藉由上述 M 估计算法，可以算出均值为：5.00382727784989

M 估计法，估计标准差

M 估计方算方差平方根是用下述方程的解来表示的：
ave[ρ(xi−TnSn)]=β\text{ave}[ \rho (\frac{x_i-T_n}{S_n})] = \beta ave[ρ(Snxi−Tn)]=β
其中，在小样本时（n∈[4,8]n\in[4,8]n∈[4,8]），一般取 TnT_nTn 为中位数，ρ\rhoρ 为：
ρ(x)=f2(x0.3739)\rho(x) = f^2(\frac{x}{0.3739}) ρ(x)=f2(0.3739x)
函数 fff 即 ψ\psiψ 函数，经计算，ρ\rhoρ 函数的图像如下：

函数 fff 见上文，而 β\betaβ 取值为 ∫ρ(u)dΦ(u)\int \rho(u)d\Phi(u)∫ρ(u)dΦ(u)，Φ(u)\Phi(u)Φ(u) 为标准正态分布的分布函数。很明显，上述方程没有代数解，故需要用牛顿法求解，设数值解（牛顿法）的初始值为 Sn=MAD(X)S_n=MAD(X)Sn=MAD(X)，MAD 的求解见上。

牛顿法的每一次迭代为：
Sn(k)=Sn(k−1)2ave [ρ((xi−Tn)/Sn(k−1))]S_{n}^{(k)}=S_{n}^{(k-1)} \sqrt{2 \text{ave } [ \rho \left(\left(x_{i}-T_{n}\right) / S_{n}^{(k-1)}\right)]} Sn(k)=Sn(k−1)2ave [ρ((xi−Tn)/Sn(k−1))]

设置收敛的允差条件为：1e-6，产生 8 个正态分布数据（方差为 3，也即标准差为 1.732），可得：

运行算法，可以估计出均值和标准差分别为：3.62、1.62。（还是蛮准的嘛）

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