数值计算方法”上机实验指导书—

实验要求：
**1、**选择充分小的 ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数 ε 很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？
令ess分别等于0.000000001（1e-8）、0.000000000001（1e-11）和0.000000000000001（1e-14），计算式（1.2）中的解，并使用MATLAB在坐标轴中将各点分别使用绿色、红色和蓝色连接起来。图示如下：

从图中可以看到，随着ess值变小，（1.2）的解的变化幅度也越来越小。
当ess=0.000000000000001（1e-14）时，如图中蓝线所示，此时扰动项的系数ε 很小，式（1.0）和（1.2）的解相差很小。
当解x<=6时，此时无论扰动项的系数ε 怎样变化，式（1.2）的解值不变与（1.1）相同，所有线段均呈直线。说明这些解的扰动敏感性较低。
代码如下：

ess = 0.000000001;
ve = zeros(1,21);
ve(2) = ess;
a=poly(1:20)+ve;
b=roots(poly(1:20)+ve);
ess = 0.000000000001;
ve = zeros(1,21);
ve(2) = ess;
c=poly(1:20)+ve;
d=roots(poly(1:20)+ve);
ess = 0.000000000000001;
ve = zeros(1,21);
ve(2) = ess;
e=poly(1:20)+ve;
f=roots(poly(1:20)+ve);
n=1:20;
plot(n,b,'g',n,d,'r',n,f,'b');
xlabel('n','FontSize',18);ylabel('x','FontSize',18);title('式（1.2）的解','FontSize',16);

2、将方程（1.2）中的扰动项改成εx^18或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？
改变方程的扰动项为εx^18后，令ess分别等于0.000000001、0.000000000001和0.000000000000001，得到的图形如下：

从图中可以看出，相较于扰动项为εx^19，此时解的变化幅度小了很多。
改变方程的扰动项为εx^20后,图像如下：

思考题一：（上述实验的改进）
在上述实验中我们会发现用 roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数 solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数 poly2sym,函数的具体使用方法可参考 MATLAB 的帮助。
使用solve提高精度的代码如下：

ess = 0.000000001;
ve = zeros(1,21);
ve(2) = ess;
g=poly(1:20);          %不添加扰动
h=roots(poly(1:20));
n=1:20;
c=poly(1:20)+ve;          %得到多项式方程的系数保存于c中
eqn=poly2sym(c);           %使用poly2sym把方程表示出来保存于eqn中
s=solve(eqn);              %求出方程eqn的解
s=vpa(s);                  %将解去root（解的数量较多时，出现root问题）
s=flipud(s);               %把解从大到小排列
plot(n,s,'r',n,h,'g');  %绘图

得到的图形如下：

绿色为不加扰动项图形，红色为使用solve添加扰动项的图形。
将使用roots和solve计算的解结果图绘于同一图形中，如下：

绿色为使用roots添加扰动项图形，红色为使用solve添加扰动项的图形。
结果显示区别并不明显。

思考题二：（二进制产生的误差）
计算公式的代码如下：
t=0;
for n=1:1000
t=t+0.1;
end
l=t-100; %l为计算的结果
得到的结果l为-1.4069e-12，与理论值0不同。

思考题三：（一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子）
由于n很大时，数据量较大，所以采取分段的思想。
首先在n=1~1e50之间取10整数倍幂，即：1、10、100……1e49、1e50，并将对应的误差：f(n)-exp(1)的值存入数组Sn，得到如下图所示图形：

从图中可以看出，误差最大值大约在n=1e15附近。
代码如下：

Sn= zeros(0,3000);
t = 0:50;
m=1;
n=1;
for h =0:50Sn(m) = (1+1/n)^n-exp(1);m=m+1;n=n*10;
endfigure;
plot(t(1:50),Sn(1:50));
xlabel('t/10的幂次数','FontSize',18);ylabel('Sn/误差,'FontSize',18);title('tu','FontSize',16);

为准确计算出n的值，接下来把区间（1e14, 1e16）等分成100000份，一份为1e11，计算误差f(n)-exp(1)的值存入数组Sn。结果如下：

结果显示，误差在区间份数的第89070份时有最大值，即此时n=9.901e15，误差最大为4.671。
代码如下：

Sn= zeros(1,300000);
t = 1:100000;
m=1;
for n =1e14:1e11:1e16Sn(m) = (1+1/n)^n-exp(1);m=m+1;
end
figure;
plot(t,Sn(1:100000));
xlabel('t/(1e14,1e16)的等分份数','FontSize',18);ylabel('Sn/误差','FontSize',18);title('tu','FontSize',16);

舍入误差是计算机进行实数计算时所产生的。之所以产生舍入误差是因为机器中进行的算术运算所涉及的数是有限位的，从而导致计算只能用实际数值的近似表示式来完成。在典型的计算机中，仅实数系统的一个相对小的子集用来表示所有的实数。这个子集包含了正负有理数，且存储了小数和指数部分。

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