围观Razavi和Sansen打架——电流并联反馈

一、排兵布阵

Sansen出招

Sansen《模集精粹》第14章反馈中介绍电流并联反馈时，要求输入电阻，和输出电阻，他的结果是：

Rin=R2+RE//1gm1+LG≈R2A0（负载短路）R_{in}=\frac{R_2+R_E//\frac{1}{g_m}}{1+LG}\approx \frac{R_2}{A_0}（负载短路） Rin=1+LGR2+RE//gm1≈A0R2（负载短路）
Rout=r0(1+gmRE)(1+LG)≈rogmREA0（负载开路）R_{out}=r_0(1+g_mR_E)(1+LG)\approx r_og_mR_EA_0（负载开路） Rout=r0(1+gmRE)(1+LG)≈rogmREA0（负载开路）
这里假设了mos管的gmg_mgm很大。

Razavi出招

Razavi第八章的反馈也有这样的案例，同样是电流并联反馈。

用Razavi计算的结果是：
Rin=R2+RE1+LG≈R2+REA0（负载开路）R_{in}=\frac{R_2+R_E}{1+LG}\approx \frac{R_2+R_E}{A_0}（负载开路） Rin=1+LGR2+RE≈A0R2+RE（负载开路）
Rout=r0(1+gmRE//R2)(1+LG)≈rogmRE//R2A0（负载短路）R_{out}=r_0(1+g_mR_E//R_2)(1+LG)\approx r_og_mR_E//R_2A_0（负载短路） Rout=r0(1+gmRE//R2)(1+LG)≈rogmRE//R2A0（负载短路）

求输入输出的时候，采用二端口网络的方法，确实需要向拉扎维一样，输入开路，输出短路。但为什么Sansen要输入短路，输出开路呢？而且两者的结果不一样。电路就摆在那里，仿真也只有一个结果，到底哪位大佬的结果正确呢？

二、格雷劝架

不得不说，格雷的《Analysis and Design of Analog Integrated Circuits》确实是经典中的经典，配套的课后习题解答更是自学利器！第八章除了详细介绍了二端口的计算方法，还介绍了Return Ratio的方法。更加给力的是，课后习题用两种方法手算了电压并联反馈的增益、输入输出电阻。

经过格雷的拨乱反正，发现两位大佬都没有错，因为两个人用了不同的方法，两种方法定义的环路增益、输入、输出电阻的求法都不一样。

Sansen用的是Return Ratio的方法，计算负载时需要用Blackman公式，而不是用二端口的开路负载乘上或除以环路增益。

Razavi用的是二端口的方法，该方法定义的环路增益与Return Ratio不同。

三、Razavi的二端口方法

1、打开环路

2、分别计算开环增益AopenA_{open}Aopen，反馈系数FFF

Aopen=IoutIin=(R2+RE)A0gm1+gmR2//RE≈(R2+RE)2R2REA0A_{open}=\frac{I_{out}}{I_{in}}=(R_2+R_E)A_0\frac{g_m}{1+g_mR_2//R_E}\approx\frac{(R_2+R_E)^2}{R_2R_E}A_0 Aopen=IinIout=(R2+RE)A01+gmR2//REgm≈R2RE(R2+RE)2A0
F=IFIout=IF(1+R2/RE)IF=RERE+R2F=\frac{I_F}{I_{out}}=\frac{I_F}{(1+R_2/R_E)I_F}=\frac{R_E}{R_E+R_2} F=IoutIF=(1+R2/RE)IFIF=RE+R2RE
由此可以得到环路增益：
AF=R2+RER2A0AF=\frac{R_2+R_E}{R_2}A_0 AF=R2R2+REA0
这里得到的环路增益和Sansen中的不同，结果相差一个系数R2+RER2\frac{R_2+R_E}{R_2}R2R2+RE，但都可以得到最终闭环Rin，RoutR_{in}，R_{out}Rin，Rout的结果。

3、计算输入电阻、输出电阻

Rinclose=Rinopen1+AF=R2+RE1+A0R2+RER2≈R2A0R_{in_{close}}=\frac{R_{in_{open}}}{1+AF}=\frac{R_2+R_E}{1+A_0\frac{R_2+R_E}{R_2}}\approx\frac{R_2}{A_0} Rinclose=1+AFRinopen=1+A0R2R2+RER2+RE≈A0R2
Routclose=Routopen(1+AF)=ro(1+gmR2//RE)(1+A0R2+RER2)≈rogmREA0R_{out_{close}}=R_{out_{open}}(1+AF)=r_o(1+g_mR_2//R_E)(1+A_0\frac{R_2+R_E}{R_2})\approx r_og_mR_EA_0 Routclose=Routopen(1+AF)=ro(1+gmR2//RE)(1+A0R2R2+RE)≈rogmREA0

四、Sansen的Return Ratio方法

1、断开环路，输入置零，求环路增益LG

LG=VfVt=A0LG=\frac{V_f}{V_t}=A_0 LG=VtVf=A0
这里假设gmg_mgm很大，nmos表现为跟随器。

2、输入输出负载

Return Ratio的方法需要用Blackman公式计算输入输出负载：
Zport=Zport(k=0)[1+R(port_shorted)1+R(port_open)]Z_{port}=Z_{port}(k=0)[\frac{1+R(port\_shorted)}{1+R(port\_open)}] Zport=Zport(k=0)[1+R(port_open)1+R(port_shorted)]

输出负载

简单来说，如果要求输出负载：需要将环路中的放大器增益置为0(即k=0)，此时NMOS的栅极相当于接地。输入端的电流置零，计算此时的输出电阻Routol=ro(1+gmRE)R_{outol}=r_o(1+g_mR_E)Routol=ro(1+gmRE)。

R(port_shorted)R(port\_shorted)R(port_shorted)是将输出短路，恢复放大器增益时的环路增益；R(port_open)R(port\_open)R(port_open)是将输出开路，恢复放大器增益时的环路增益；两者的比值通常都是LG或者1/LG，具体要看反馈的类型。这里是输出是电流反馈，负载会提高，因此要乘以(1+LG)。
Rout=Routol(1+LG)≈rogmREA0R_{out}=R_{outol}(1+LG)\approx r_og_mR_EA_0 Rout=Routol(1+LG)≈rogmREA0
与Razavi的结果一致

输入负载

同样的道理，计算输入电阻的时候，将放大器增益置零(即k=0)，得到Rinol=R2+RE//1gm≈R2R_{inol}=R_2+R_E//\frac{1}{g_m}\approx R_2Rinol=R2+RE//gm1≈R2。

最后输入电阻：
Rin=Rinol1+LG≈R2A0R_{in}=\frac{R_{inol}}{1+LG}\approx \frac{R_2}{A_0} Rin=1+LGRinol≈A0R2
这也和Razavi的结果一致。

五、总结

反馈的精确计算一直是模大中的一大难点，比较常用的方法是二端口法：

断开环路求AopenA_{open}Aopen(需考虑负载)
计算环路增益AopenFA_{open}FAopenF
计算闭环增益，输入电阻，输出电阻

另一种方法是Return Ratio的方法：

输入置零，断开环路，加测试信号求环路增益LG(特别注意这里的环路增益和二端口的环路增益定义不同)
Blackman 公式计算输入输出电阻

当环路中的放大器不理想(Rin≠∞,Rout≠0,A0≠∞R_{in}\ne \infty,R_{out}\ne 0,A_0\ne \inftyRin=∞,Rout=0,A0=∞)，比较格雷大佬的习题计算结果，发现二端口的方法会准确一些。

向Razavi，Sansen，格雷三位大佬致敬！

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