设$F$是一个域，则$F$上的全矩阵环$M_n(F)$是单环.

这道题在近世代数导引中是用矩阵的知识将其证明,我开始时不会做,看了书上的证明之后,仍觉得思路是书上的,没有融入自己(我有时候觉得不是自己想出来的东西与自己有隔阂,虽然有人说,要大胆地把别人的想法据为己有,但是,真正做起来很难,总觉得别人的想法突兀.这可能就是一种强迫症吧."视为己出"总是很难的,心态上没有接受它,会导致过了一段时间后就忘了.对付这种固执症的好办法,我想就是把别人的证明改写或者简化,这样子就会让自己觉得起码这道题的解决自己也是有一点努力在里面的,从而成功地欺骗掌管强迫症的那一部分大脑,让自己感到舒服一些:-).为了检测自己是否已经理解，我把矩阵语言改用线性映射的语言叙述了出来(有一个数学家说,一个使用了矩阵的证明，改用了不使用矩阵的证明后，篇幅往往能缩短一半.这是数学家说的，应该不会错吧.只能靠自己将来体会了).

先说明符号：设$V$是域$F$上的$n$维线性空间.$\{e_1,\cdots,e_n\}$是线性空间$V$的一组基.$M$是$V$到$V$的全部线性映射形成的集合.把"线性映射的复合"作为一个运算,记为$\circ$.把"线性映射的加法"也作为一个运算，记为$+$.那么$M$关于$\circ$和$+$形成一个环.要证的定理等价于$M$是一个单环.

如果$g$是一个线性映射,且$g(e_i)=e_j(1\leq i,j\leq n)$,且$\forall k\neq i$,$g(k)=0$,则我们把$g$叫做映射单元,记做$e_{i\to j}$.设$I$是$M$的一个非零理想(住意$M$中的零元素是零映射).

引理1:任何一个映射单元$e_{i\to j}$都属于$I$.

引理1证明:取$I$中的一个非零元素$h$,$h(e_m)=a_1e_1+\cdots+a_ne_n$(只有$a_{t_1},\cdots,a_{t_p}\neq 0$).易得$M$中的映射单元$e_{i\to m}$与$h$作用:$$h\circ e_{i\to m}=a_{t_1}e_{i\to t_1}+\cdots+a_{t_p}e_{i\to t_p}.$$

$M$中还有一个元素$a_{t_p}^{-1}e_{t_p\to j}$.我们易得$a_{t_p}^{-1}e_{t_p\to j}\circ h\circ e_{i\to m}=e_{i\to j}$.因为$I$是一个理想，$h\in I$,所以$a_{t_p}^{-1}e_{t_p\to j}\circ h\circ e_{i\to m}\in I$,即$e_{i\to j}\in I\Box$

引理2:若$\exists x\in M-I$,$x\neq 0$,则$M-I$中存在映射单元.这将与引理1发生矛盾，因此得$M-I=\{0\}$.

引理2证明：$$x=b_1e_{i_1\to j_1}+\cdots+b_qe_{i_q\to j_q}(b_1,\cdots,b_q\neq 0).$$

必定存在$1\leq r\leq q$,使得$b_re_{i_r\to j_r}\not\in I$(否则若$b_1e_{i_1\to j_1},\cdots,b_qe_{i_q\to j_q}$全属于$I$,则易得它们相加属于$I$,即$x\in I$,矛盾.)易得$$e_{j_r\to j_r}\circ b_re_{i_r\to j_r}=b_re_{i_r\to j_r},$$所以$e_{j_r\to j_r}\not\in I$(否则由于$I$是理想，导致$b_re_{i_r\to j_r}\in I$,矛盾.)，这与引理1矛盾,可见$M-I$中只有零元素(即零映射)$\Box$

根据引理2，任何非零元素都属于$I$,而零元素属于$M-I$,所以$M$是单环.$\Box$