NS方程就是牛顿第二定律的运用，依旧是在经典力学的框架下。其核心本质就是动量守恒。需要注意的是，NS方程终究只是一个对流体在连续介质层面的物理近似，具体说就是一个对流体在分子动理论(kinetic theory)层面进行“粗粒化”(coarse-graining)的物理模型。当然，大量的实验、研究表明，NS方程在大部分情况下还是非常优秀的一个模型。

接下来先回顾一下NS方程(不考虑源项和外力项)。有不可压缩NS方程(假设将密度项吸入压力项)：

和可压缩NS方程：

若将不可压缩NS改写为

显而易见，就是简单的牛顿第二定律

的运用；其中

为物质导数。可压缩NS同理。

各项基本性质：对流项：是由拉格朗日描述法转为欧拉法而衍生出来的项，也就是从material derivative到spatial derivative。这一转变代表着从质量守恒的研究角度转为体积守恒的研究角度。从物理的角度讲，对流项通俗说就是速度运输速度自己，具体作用为加大速度梯度。

扩散项：由应力项化简而得的。应力张量可以分解为isotropic部分(正应力，或压力)和anisotropic部分(粘性切应力)：

。压缩效应不大、无剧烈反应的情况下，斯托克斯假设基本合理，因此粘性应力项化简为：

。对于不可压缩单项牛顿流体，根据质量守恒，

，因此应力项可化简为

。从物理角度上讲，扩散项的来源是分子间的动量交换；从其通量构造上来讲和菲克扩散定律一致：

，粘性运输是朝着速度梯度小的方向进行的。因此，扩散项实际作用是使得速度场中的梯度变得光滑，从而对动量在空间上“重新分配”并变得“更均匀”。换句话说就是“抹平”流体微元之间的速度差异。

压力梯度：不可压缩条件下，压力场与速度场耦合，压力场完全由速度场决定。因此物理上压力场的唯一意义就是使速度场满足不可压缩条件，数学上则将速度场投影至无源的向量空间。而在可压缩条件下，压强和速度场解耦，压强由状态方程和能量方程决定。压力的其他物理作用有例如：(1)维持/产生相干涡结构，(2)对能量重新分配，具体表现为将动能从速度慢的微元转移到速度快的微元，使得“慢的更慢，快的更快”，由此速度梯度增加从而使得流场更加不光滑。

源项：没什么好解释的，就是除流体自身以外的能对流动产生影响的外源，如重力，温差，两相流中的表面张力，化学反应产生的力，MHD中的磁场，等等。

求解NS方程常用的离散方法其实也就那么几种：(1) 有限差分：向前/向后/中心差分；(2) 有限体积；(3) 谱方法，有限元，谱元法等。粗暴地讲，在没有间断/激波的情况下对所有的空间导数优先使用中心差分。先进的不可压缩DNS要求高精度高分辨率，因此在空间离散上大部分采用谱方法(其中又以伪谱方法pseudospectral居多)，差一点的至少也得是高阶紧致或高阶高分辨率中心差分。时间上一般采用三阶/四阶RK以及各种相应的优化算法，但是超大型DNS中二、三阶还是占多数；而计算资源不充足或对时间上的统计量不关心的情况下亦可适度降低时间离散精度。对于可压缩流动，目前看来还是有限差分/有限体积占据主导地位。同时由于各种高阶方法缺少数值粘性，有的时候还需要对流场进行滤波或者添加人工粘性以确保稳定。如果流场中存在间断/激波，一般对对流项采用迎风格式，粘性项依旧使用中心差分。常用的高阶迎风格式主要包括W/T/ENO家族，以及其他激波捕捉器(shock-capturing)和黎曼求解器(Riemann solver)等等。

对称及对称群：这里随便额外探讨一些稍微进阶的内容。对称性是很重要的一个概念，在从数学和物理角度研究NS方程/流动都起着很重要的作用(例如K41理论利用到尺度对称和旋转对称)。自然NS方程的对称群也是很重要的一个概念。这里简单介绍一下。

定义：有NS方程

，其中

为NS算子，

为其解。一个关于速度

的变换群

是NS方程的对称群，当且仅当

时，有

。

不可压缩NS方程的一些基本对称变换：空间平移：

时间平移：

伽利略变换：

空间反射(宇称对称)：

空间旋转：

尺度对称：当

，

；而当

，仅当

时满足尺度对称。

实际案例：1. 在对NS方程进行数值计算时或者湍流模拟时，一些必要的对称性必须要尽力保证。比较常考虑的是伽利略变换(或不变性)，例如在显式滤波大涡模拟(explicit-filtered LES)中，显式滤波的格式，还有例如在施加外力驱动湍流时，原则上都要求不能打破伽利略不变性。另外也有相关的对CFD格式的研究，探究是否会破坏方程的伽利略不变性。2. 现代研究各向异性的一个主要手段是就是利用3-D特殊正交群

，即上述的空间旋转变换。