在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息(Mutual Information，简称MI)或转移信息(transinformation)是变量间相互依赖性的量度。不同于相关系数，互信息并不局限于实值随机变量，它更加一般且决定着联合分布 p(X,Y) 和分解的边缘分布的乘积 p(X)p(Y) 的相似程度。互信息(Mutual Information)是度量两个事件集合之间的相关性(mutual dependence)。互信息最常用的单位是bit。

互信息的定义

正式地，两个离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以定义为：

其中 p(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率分布函数，而p(x)和p(y)分别是 X 和 Y 的边缘概率分布函数。

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

其中 p(x,y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而p(x)和p(y)分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

互信息量I(xi;yj)在联合概率空间P(XY)中的统计平均值。 平均互信息I(X;Y)克服了互信息量I(xi;yj)的随机性,成为一个确定的量。如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。

直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y(或 X)单独包含的不确定度相同，称作 Y(或 X)的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。(这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。)

互信息是 X 和 Y 联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

此外，互信息是非负的(即 I(X;Y) ≥ 0; 见下文)，而且是对称的(即 I(X;Y) = I(Y;X))。

互信息特征选择算法的步骤

①划分数据集

②利用互信息对特征进行排序

③选择前n个特征利用SVM进行训练

④在测试集上评价特征子集计算错误率

缺点

此种特征选择方法是最大化特征与分类变量之间的相关度，就是选择与分类变量拥有最高相关度的前k个变量。但是，在特征选择中，单个好的特征的组合并不能增加分类器的性能，因为有可能特征之间是高度相关的，这就导致了特征变量的冗余。

代码

注意使用的数据集是dlbcl，大概五千多维，可以从UCI上下载，最终选择前100特征进行训练。

主函数代码：

MATLAB

clear all

close all

clc;

[X_train,Y_train,X_test,Y_test] = divide_dlbcl();

Y_train(Y_train==0)=-1;

Y_test(Y_test==0)=-1;

% number of features

numF = size(X_train,2);

[ ranking , w] = mutInfFS( X_train, Y_train, numF );

k = 100; % select the Top 2 features

svmStruct = svmtrain(X_train(:,ranking(1:k)),Y_train,'showplot',true);

C = svmclassify(svmStruct,X_test(:,ranking(1:k)),'showplot',true);

err_rate = sum(Y_test~= C)/size(X_test,1); % mis-classification rate

conMat = confusionmat(Y_test,C); % the confusion matrix

fprintf('\nAccuracy: %.2f%%, Error-Rate: %.2f \n',100*(1-err_rate),err_rate);

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clearall

closeall

clc;

[X_train,Y_train,X_test,Y_test]=divide_dlbcl();

Y_train(Y_train==0)=-1;

Y_test(Y_test==0)=-1;

%numberoffeatures

numF=size(X_train,2);

[ranking,w]=mutInfFS(X_train,Y_train,numF);

k=100;% select the Top 2 features

svmStruct=svmtrain(X_train(:,ranking(1:k)),Y_train,'showplot',true);

C=svmclassify(svmStruct,X_test(:,ranking(1:k)),'showplot',true);

err_rate=sum(Y_test~=C)/size(X_test,1);% mis-classification rate

conMat=confusionmat(Y_test,C);% the confusion matrix

fprintf('\nAccuracy: %.2f%%, Error-Rate: %.2f \n',100*(1-err_rate),err_rate);

mutInfFS.m

MATLAB

function [ rank , w] = mutInfFS( X,Y,numF )

rank = [];

for i = 1:size(X,2)

rank = [rank; -muteinf(X(:,i),Y) i];

end;

rank = sortrows(rank,1);

w = rank(1:numF, 1);

rank = rank(1:numF, 2);

end

1

2

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5

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9

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function[rank,w]=mutInfFS(X,Y,numF)

rank=[];

fori=1:size(X,2)

rank=[rank;-muteinf(X(:,i),Y)i];

end;

rank=sortrows(rank,1);

w=rank(1:numF,1);

rank=rank(1:numF,2);

end

muteinf.m

MATLAB

function info = muteinf(A, Y)

n = size(A,1);%实例数量

Z = [A Y];%所有实例的维度值及标签

if(n/10 > 20)

nbins = 20;

else

nbins = max(floor(n/10),10);%设置区间的个数

end;

pA = hist(A, nbins);%min(A)到max(A)划分出nbins个区间出来，求每个区间的概率

pA = pA ./ n;%除以实例数量

i = find(pA == 0);

pA(i) = 0.00001;%不能使某一区间的概率为0

od = size(Y,2);%一个维度

cl = od;

%下面是求实例不同标签的的概率值，也就是频率

if(od == 1)

pY = [length(find(Y==+1)) length(find(Y==-1))] / n;

cl = 2;

else

pY = zeros(1,od);

for i=1:od

pY(i) = length(find(Y==+1));

end;

pY = pY / n;

end;

p = zeros(cl,nbins);

rx = abs(max(A) - min(A)) / nbins;%每个区间长度

for i = 1:cl

xl = min(A);%变量的下界

for j = 1:nbins

if(i == 2) && (od == 1)

interval = (xl <= Z(:,1)) & (Z(:,2) == -1);

else

interval = (xl <= Z(:,1)) & (Z(:,i+1) == +1);

end;

if(j < nbins)

interval = interval & (Z(:,1) < xl + rx);

end;

%find(interval)

p(i,j) = length(find(interval));

if p(i,j) == 0 % hack!

p(i,j) = 0.00001;

end

xl = xl + rx;

end;

end;

HA = -sum(pA .* log(pA));%计算当前维度的信息熵

HY = -sum(pY .* log(pY));%计算标签的信息熵

pA = repmat(pA,cl,1);

pY = repmat(pY',1,nbins);

p = p ./ n;

info = sum(sum(p .* log(p ./ (pA .* pY))));

info = 2 * info ./ (HA + HY);%计算互信息

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functioninfo=muteinf(A,Y)

n=size(A,1);%实例数量

Z=[AY];%所有实例的维度值及标签

if(n/10>20)

nbins=20;

else

nbins=max(floor(n/10),10);%设置区间的个数

end;

pA=hist(A,nbins);%min(A)到max(A)划分出nbins个区间出来，求每个区间的概率

pA=pA./n;%除以实例数量

i=find(pA==0);

pA(i)=0.00001;%不能使某一区间的概率为0

od=size(Y,2);%一个维度

cl=od;

%下面是求实例不同标签的的概率值，也就是频率

if(od==1)

pY=[length(find(Y==+1))length(find(Y==-1))]/n;

cl=2;

else

pY=zeros(1,od);

fori=1:od

pY(i)=length(find(Y==+1));

end;

pY=pY/n;

end;

p=zeros(cl,nbins);

rx=abs(max(A)-min(A))/nbins;%每个区间长度

fori=1:cl

xl=min(A);%变量的下界

forj=1:nbins

if(i==2)&&(od==1)

interval=(xl<=Z(:,1))&(Z(:,2)==-1);

else

interval=(xl<=Z(:,1))&(Z(:,i+1)==+1);

end;

if(j

interval=interval&(Z(:,1)

end;

%find(interval)

p(i,j)=length(find(interval));

ifp(i,j)==0% hack!

p(i,j)=0.00001;

end

xl=xl+rx;

end;

end;

HA=-sum(pA.*log(pA));%计算当前维度的信息熵

HY=-sum(pY.*log(pY));%计算标签的信息熵

pA=repmat(pA,cl,1);

pY=repmat(pY',1,nbins);

p=p./n;

info=sum(sum(p.*log(p./(pA.*pY))));

info=2*info./(HA+HY);%计算互信息

前100个特征的效果：

Accuracy: 86.36%, Error-Rate: 0.14

选择前两个特征进行训练(压缩率接近100%,把上述代码中的K设为2即可)的二维图：

Accuracy: 75.00%, Error-Rate: 0.25

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