Cholesky分解

对于对称正定矩阵，如果 AAA 的所有顺序主子式均大于0，则该矩阵可分解为 A=LUA = LUA=LU 。其中，UUU 为上三角矩阵，并分解为 U=DMU=DMU=DM , DDD 为对角矩阵 diag(u11,u22,…,unn)diag(u_{11},u_{22},\dots,u_{nn})diag(u11,u22,…,unn)，M为单位上三角矩阵。

利用矩阵的对称性和Doolittle分解的唯一性进行如下推导
A=LDM=AT=(LDM)T=MTDLTM=LT(分解的唯一性)A=LDLTA = LDM = A^T = (LDM)^T=M^TDL^T\\ \;\\ M=L^T(分解的唯一性)\\ \;\\ A = LDL^T A=LDM=AT=(LDM)T=MTDLTM=LT(分解的唯一性)A=LDLT
因为A是正定的，所以若令 D12=diag(u11,u22,…,unn)D^\frac{1}2=diag(\sqrt{u_{11}},\sqrt{u_{22}},\dots,\sqrt{u_{nn}})D21=diag(u11,u22,…,unn)，有
D=D12D12T令G=LD12A=GGTD = D^\frac{1}2{D^\frac{1}2}^T\\ \;\\ 令G=LD^\frac{1}2\\ \;\\ A=GG^T D=D21D21T令G=LD21A=GGT
G为下三角矩阵，上述分解为正定矩阵的Cholesky分解

代码

#为方便示意不考虑时间空间代价
def Cholesky(matrix):w = matrix.shape[0]G = np.zeros((w,w))#实际上只用一半的空间就可以完成矩阵分解for i in range(w):G[i,i] = (matrix[i,i] - np.dot(G[i,:i],G[i,:i].T))**0.5for j in range(i+1,w):G[j,i] = (matrix[j,i] - np.dot(G[j,:i],G[i,:i].T))/G[i,i]return G

实验

C = np.array([[4,-2,4],[-2,5,0],[4,0,6]])
print(Cholesky(C))

结果
原矩阵

G

由于G的对称性，Cholesky分解所需的计算量和存储量仅为Doolittle分解的一半。

避免开平方的改进

在Cholesky分解的过程中，G的主元需要通过开平方运算，对于早期的计算机，开平方运算很耗费资源，所以人们在Cholesky分解的基础上进行改进，并没有引入 GGG 而是将矩阵分解为如下的形式
A=LDLTA = LDL^T A=LDLT
代码

#为方便示意不考虑时间空间代价
def Cholesky_plus(matrix):w = matrix.shape[0]L = np.zeros((w,w))for i in range(w):L[i,i] = 1D = np.zeros((w,w))for i in range(w):D[i,i] = matrix[i,i] - np.dot(np.dot(L[i,:i],D[:i,:i]),L[i,:i].T)for j in range(i+1,w):L[j,i] = (matrix[j,i] - np.dot(np.dot(L[j,:i],D[:i,:i]),L[i,:i].T))/D[i,i]return L,D

实验

L,D = Cholesky_plus(C)
print(L)
print(D)
print(np.dot(np.dot(L,D),L.T))

结果
原矩阵

L、DL、DL、D 以及 LDLTLDL^TLDLT

Crout分解

很简单的
A=LDM令T=LDA=TMA = LDM \\ \;\\ 令T = LD\\ \;\\ A=TM A=LDM令T=LDA=TM
这个 A=TMA=TMA=TM 就是Crout分解，其中T为下三角矩阵，M为单位上三角矩阵。嗯，和Doolittle分解很类似。。。。。

代码

def Crout(matrix):w = matrix.shape[0]T = np.zeros((w,w))M = np.zeros((w,w))for i in range(w):M[i,i] = 1for i in range(w):for j in range(i,w):T[j,i] = matrix[j,i] - np.dot(T[j,:i],M[:i,i])for j in range(i+1,w):M[i,j] = (matrix[i,j] - np.dot(T[i,:i],M[:i,j]))/T[i,i]return T,M

实验

A = np.array([[2,-1,0,0],[-1,2,-1,0],[0,-1,2,-1],[0,0,-1,2]])
T,M = Crout(A)
print(T)
print(M)

结果
原矩阵

T

M

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基于Python实现的Cholesky分解与Crout分解

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Cholesky分解

避免开平方的改进

Crout分解

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