数学建模——光盘的数据容量

1、背景和问题

（1）20世纪80年代出现激光唱片（CD）与激光视盘（LD），统称为光盘。

（2）20世纪90年代出现数字视频光盘（DVD）。

（3）光盘用于存储数字声频、视频信号和计算机数据等。

（4）CD的数据容量：单层650MB（兆字节）。

（5）DVD的数据容量：单层4.7GB（千兆字节）。

（6）光盘的数据容量是怎么确定的？

在一定条件下怎样使容量最大化？

2、调查和分析

（1）光盘的内圈直径45mm，外圈直径120mm，外围2mm不存储数据

（2）光盘表面内外圈之间不慢呈螺旋线形状的信道

（3）数字信息经过编码，以一定深度和宽度、不同长度的凹坑形式，用激光技术存储在信道上。

（4）数据容量大小取决于：

①信道长度

②存储数据的线密度

（5）信道长度取决于信道间距

（6）决定信道间距和线密度的两个主要因素：

①激光波长

②驱动光盘的机械形式

（7）信号间距、线密度决定了光盘数据容量

（8）激光波长、驱动形式又决定了信道间距、线密度

（9）激光线速必须精确聚焦，才能识别信道上的信息

（10）光的衍射使激光线束形成圆状的光斑

（11）光斑越小，则信道间距越小，线密度越大

（12）光斑的大小与激光波长成正比（其他条件给定时）

（13）几种激光器的激光波长、光斑直径、信道间距和数据线密度比较

激光器	激光波长（um）	光斑直径(um)	信道间距(um)	数据线密度（字节/mm）
红外（CD）	0.78	2	1.6	121
红色（DVD）	0.64	0.925	0.74	387
蓝色（DVD）	0.41	0.4	0.32	800

（14）、驱动光盘的机械形式有两种：

①恒定线速度（CLV）

各圈螺旋线上数据的线密度不变。

容量取决于线密度和信道间距。

②恒定角速度（CAV）

每圈螺线上存储同等数量的数据信息。

容量取决于最内圈的长度和线密度及信道间距。

（15）光盘容量：CLV(恒定线速度)优于CAV（恒定角速度）

数据读取时间：CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV则不需要。

CLV适用于：音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息。

CAV适用于：词典、数据库、人机交互等需要随时查找的信息。

3、模型建立：

（1）CLV（恒定线速度）光盘

数据容量 $C_{CLV}=\rho L_{CLV}$ ,其中 $\rho$ 表示线密度， $L_{CLV}$ 表示信道总长度

又 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 表示内圈和外圈的半径，d表示信道间距，n表示总圈数， $n=\frac{R_{2}-R_{1}}{d}$

则 $L_{CLV}\approx \sum_{k=0}^{n-1}2\pi (R_{1}+kd)= \frac{\pi (R_{2}-R_{1})\cdot(R_{2}+R_{1}-d) }{d}$

其他建模方法：

环型区域面积/信道间距： $L_{CLV}\approx \frac{\pi(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{d}$

同心圆平均周长*总圈数： $L_{CLV}\approx \frac{2\pi(R_{2}+R_{1})}{2}\times \frac{R_{2}-R_{1}}{d}$

(2)CAV(恒定角速度)光盘

数据容量： $C_{CAV}=\rho L_{CAV}$ ， $\rho$ 表示最内圈线密度， $L_{CAV}$ 表示信道有效长度

有效长度=最内圈长度*总圈数

$L_{CAV}\approx2\pi\cdot R_{1} \times \frac{R_{2}-R_{1}}{d}$

$C_{CAV} \approx2\pi\cdot R_{1} \times \frac{R_{2}-R_{1}}{d}\times \rho$

4、模型求解：

（1）CLV（恒定线速度）光盘

$L_{CLV}\approx \frac{\pi(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{d}$ ， $C_{CLV}\approx \frac{\pi(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{d}\times \rho$ ， $R_{2}=58mm$ , $R_{1}=22.5mm$

激光器	d(um)	$\rho$ (字节/mm)	$L_{CLV}(mm)$	$C_{CLV}(MB)$	影像时间（min）
红外（CD）	1.6	121	5,611,179	679	18
红色（DVD）	0.74	387	12,132,279	4,695	126
蓝色（DVD）	0.32	800	28,055,895	22,445	603

（2）CAV（恒定角速度）光盘

$L_{CAV}\approx2\pi\cdot R_{1} \times \frac{R_{2}-R_{1}}{d}=\frac{\pi\cdot R_{2}^{2}}{2d}$ , $C_{CAV}=\rho L_{CAV}$ , $R_{2}=58mm$ , $R_{1}=\frac{R_{2}}{2}$ 时， $L_{CAV}$ 最大

激光器	d(um)	$\rho$ (字节/mm)	$L_{CAV}(mm)$	$C_{CAV}(MB)$	影像时间（min）
红外（CD）	1.6	121	3,302,599	400	11
红色（DVD）	0.74	387	7,140,755	2,764	74
蓝色（DVD）	0.32	800	16,512,996	13,210	355

即使在 $R_{1}$ 选择最佳的情况下，信息容量 $C_{CAV}$ 也要小于 $C_{CLV}$

5、光盘的数据容量建模过程评述

（1）准备工作：问题背景和资料，数据的调研都是建模的基础。

(2)计算信道长度时用同心圆代替螺旋线，简化了模型的建立和求解。

（3）用微积分方法计算螺旋线长度，可以发现近似计算误差不超过0.02%。

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