光盘的数据容量模型

2.1 光盘的数据容量模型

CD 的数据容量：单层 650 MB（兆字节）

DVD 的数据容量：单层 4.7 GB （千兆字节）

从数学建模的角度研究： 光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化。

分析经过编码的数字信息，以一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式，用烧蚀技术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上。

当盘片上环形区域面积一定时， 数据容量的大小取决于信道的总长度与信道上存储数据的线密度 。决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长 ，和驱动光盘的机械形式 。

分析：

激光波长 & 驱动形式 → \rightarrow → 信道长度& 线密度 → \rightarrow → 数据容量

激光波长

1️⃣ 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦。

2️⃣ 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑。

3️⃣ 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比。

激光器	激光波长（ μ \mu μ m)	光斑直径（ μ \mu μ m)	信道间距（ μ \mu μ m)	数据线密度（字节/mm)
红外（CD)	0.78	2	1.6	121
红色（DVD）	0.64	0.925	0.74	387
蓝色（DVD）	0.41	0.4	0.32	800

驱动光盘的机械形式

恒定角速度（CAV）

1️⃣ 每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息。

2️⃣ 容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数。

恒定线速度（CLV）

1️⃣ 各圈螺旋线上数据的线密度不变。

2️⃣ 容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度。

从光盘的容量比较，CLV 优于 CAV 。

数据读取时间： CLV 每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV 不需要。

对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息 ，多用CLV；对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息 ，多用CAV 。

CLV（恒定线速度）光盘

数据容量 C C L V = ρ L C L V C_{CLV} = \rho L_{CLV} CCLV=ρLCLV

ρ \rho ρ 线密度、 L C L V L_{CLV} LCLV 信道总长度、 R 1 R_1 R1 光盘环形区域内圆半径、 R 2 R_2 R2 外圆半径、 d d d 信道间距。

L C L V ≈ ∑ k = 0 n − 1 2 π ( R 1 + k d ) = π ( R 2 − R 1 ) ( R 2 + R 1 − d ) d L_{CLV} \approx \sum_{k=0}^{n-1} 2\pi (R_1+kd) = \frac{\pi (R_2 - R_1) (R_2+R_1-d )}{d} LCLV≈k=0∑n−12π(R1+kd)=dπ(R2−R1)(R2+R1−d) ( n n n 总圈数)

其他方法建模

1️⃣ 环形区域面积/ 信道间距

L C L V ≈ π ( R 2 2 − R 1 2 ) d L_{CLV} \approx \frac{\pi(R_2^2 - R_1^2)}{d} LCLV≈dπ(R22−R12)

2️⃣ 同心圆平均周长 × \times × 总圈数

L C L V ≈ 2 π R 2 + R 1 2 R 2 − R 1 d L_{CLV} \approx 2\pi \frac{R_2+R_1}{2} \frac{R_2-R_1} {d} LCLV≈2π2R2+R1dR2−R1

CAV (恒定角速度 ) 光盘

数据容量 C C A V = ρ L C A V C_{CAV} = \rho L_{CAV} CCAV=ρLCAV .

ρ \rho ρ 是线密度， L C L V L_{CLV} LCLV 信道总长度。螺旋线最内圈的长度近似为 2 π R 1 2\pi R_1 2πR1 .

总圈数可视为 R 2 − R 1 d \frac{R_2 - R_1}{d} dR2−R1 , L C A V = 2 π R 1 R 2 − R 1 d L_{CAV} = 2\pi R_1 \frac{R_2 - R_1} {d} LCAV=2πR1dR2−R1 .

当线密度 ρ \rho ρ , 信道间距 d d d 和外径 R 2 R_2 R2 给定后，可选择环形区域的内圆半径 R 1 R_1 R1 , 使数据容量最大。

CLV（恒定线速度）光盘

1️⃣ 环形区域面积/ 信道间距

L C L V ≈ π ( R 2 2 − R 1 2 ) d L_{CLV} \approx \frac{\pi(R_2^2 - R_1^2)}{d} LCLV≈dπ(R22−R12) R 2 = 58 m m , R 1 = 22.5 m m R_2 = 58mm ,R_1 = 22.5mm R2=58mm,R1=22.5mm
激光器激光波长/ μ m 信道长度 / m m 信息容量/MB 影像时间/min 红外( CD) 0.78 5611179 679 18 红色(DVD) 0.64 12132279 4695 126 蓝色(DVD) 0.41 28055895 22445 603 \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline \text { 激光器 } & \text { 激光波长/ } \mu \mathrm{m} & \text { 信道长度 } / \mathrm{mm} & \text { 信息容量/MB } & \text { 影像时间/min } \\ \hline \text { 红外( CD) } & 0.78 & 5611179 & 679 & 18 \\ \hline \text { 红色(DVD) } & 0.64 & 12132279 & 4695 & 126 \\ \hline \text { 蓝色(DVD) } & 0.41 & 28055895 & 22445 & 603 \\ \hline \end{array} 激光器红外( CD) 红色(DVD) 蓝色(DVD) 激光波长/ μm0.780.640.41 信道长度 /mm56111791213227928055895 信息容量/MB 679469522445 影像时间/min 18126603
CD信道长度在5km 以上，容量约 680 MB ； DVD 容量在 GB 量级。

影像时间按照每秒钟占用 0.62 MB计算。

CAV (恒定角速度 ) 光盘

L C A V = 2 π R 1 R 2 − R 1 d = π R 2 2 2 d L_{CAV} = 2\pi R_1 \frac{R_2 - R_1} {d} = \frac{\pi R_2^2} {2d} LCAV=2πR1dR2−R1=2dπR22 C C A V = ρ L C A V C_{CAV} = \rho L_{CAV} CCAV=ρLCAV

$R_1 = R_2/2 $ 时 L C A V L_{CAV} LCAV 最大。
激光器激光波长/ μ m 信道长度/mm 信息容量/MB 影像时间/min 红外 ( CD) 0.78 3302599 400 11 红色(DVD) 0.64 7140755 2764 74 蓝色(DVD) 0.41 16512996 13210 355 \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline \text { 激光器 } & \text { 激光波长/ } \mu \mathrm{m} & \text { 信道长度/mm } & \text { 信息容量/MB } & \text { 影像时间/min } \\ \hline \text { 红外 ( CD) } & 0.78 & 3302599 & 400 & 11 \\ \hline \text { 红色(DVD) } & 0.64 & 7140755 & 2764 & 74 \\ \hline \text { 蓝色(DVD) } & 0.41 & 16512996 & 13210 & 355 \\ \hline \end{array} 激光器红外 ( CD) 红色(DVD) 蓝色(DVD) 激光波长/ μm0.780.640.41 信道长度/mm 3302599714075516512996 信息容量/MB 400276413210 影像时间/min 1174355
即使在内圆半径的最佳选择下， CAV 光盘的信息容量也小于 CLV 光盘。