拼题A打卡奖励 (25 分)，1355D，1362C；

7-2 拼题A打卡奖励 (25 分)（背包）

题意：

求，从 n 个物品中选(每个物品有体积 vi, 价值 wi )，总体积不超过 m 的最大价值？
n≤1e3,m≤7e5,vi≤600,wi≤30n ≤1e3, m ≤7e5, vi ≤600, wi ≤30n≤1e3,m≤7e5,vi≤600,wi≤30。

思路：

如果按照经典套路：求总体积不超过m的最大价值：
先枚举所有物品，再枚举所有体积，这样时间复杂度为O(n*m)，超时。

所以，需要转换一下：因为最大总价值不超过 wi∗n=3e4wi*n=3e4wi∗n=3e4，所以：
求总价值恰好为 m 时的，最小体积。
先枚举所有物品，再枚举所有价值，这样的复杂度为 n∗wi∗n=3e7n*wi*n=3e7n∗wi∗n=3e7，可以。
最后遍历所有价值，看价值最大能够到达多少，使得最小体积不超过 m。

状态表示：f[j]f[j]f[j]，总价值恰好为 j 的最小体积。

初始化：因为求最小值，所以一开始初始化为正无穷。
但是要注意，f[0] 要赋值为 0：总价值为0，最小体积为0。

状态转移：
前面枚举价值 j，从大到小循环，最小到 w[i]
f[j] = min(f[j], f[j-w[i]]+v[i])

Code：

const int N = 200010;
int T, n, m, a[N];
int v[N],w[N],f[N];int main(){cin>>n>>m;int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i],sum+=w[i];mem(f,0x3f);f[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=sum;j>=w[i];j--){f[j]=min(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);}}while(f[sum]>m) sum--;cout<<sum;return 0;
}

这是求，总体积恰好为 j 时，总价值的最小值；

还可以求，总体积至少为 j 时，总价值的最小值：
和上面问题相同之处：状态表示：
f[j]f[j]f[j]，总体积至少为 j 时，总价值的最小值。

但是不同之处：状态转移：

当 j ≥ v[i] 时，说明总体积至少为 j，且大于当前物品体积，当前物品可选可不选。
当前物品不选，状态更新：从前 i-1 个位置选，总体积至少为 j。
当前物品选，状态更新：从前 i-1 个位置选，总体积至少为 j-v[i]，再加上当前物品的价值w[i]。
当 j < v[i] 时，说明总体积至少为 j，且小于当前物品体积。
和原来的完全背包不同的是,这里的j是最小的总体积,可以小于当前体积,也就是说当前的物品也是可以拿的！
当前物品不选，状态更新：从前 i-1 个位置选，总体积至少为 j。
当前物品选，状态更新为当前物品的价值！
这种状态下就不能从前 i-1 种物品中选，使得总体积至少为 j-v[i]。因为当前 j-v[i] 是小于0的。所以这个状态就直接更新成当前物品的价值。

Code：

 mem(f,0x3f,sizeof f);f[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=0;j--){if(j>=v[i]) f[j]=min(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);else f[j]=min(f[j],w[i]);}}

例题：
P2918 [USACO08NOV]Buying Hay S
精卫填海

1355D. Game With Array（思维）

题意：

给出n，m。
要构造一个长度为n，总和为m的数列。
同时还要给出一个数k，满足没有连续的位置之和为 k 或者 m-k。
问，能否构造成功？

思路：

如果m ≥ 2*n的话，能够构造成功。
前n-1个位置设为2，最后一个位置补差。令k=1。
这样，k不能找到，m-k 也不能找到。

Code：

const int N = 200010, mod = 1e9+7;
int T, n, m, a[N];int main(){cin>>n>>m;if(m>=n*2){cout<<"YES\n";for(int i=1;i<n;i++) cout<<2<<" ";cout<<m-(n-1)*2<<endl;cout<<1;}else{cout<<"NO\n";}return 0;
}

1362C. Johnny and Another Rating Drop（规律，进制）

题意：

定义两个数的贡献为其二进制中，对应位不同的位置个数。
给一个数n，判断1~n中，所有相邻数的贡献之和位多少？

思路：

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011发现规律：
第0位，贡献数为n；
第1位，贡献数为n/2；
第2位，贡献数为n/2/2；
第3位，贡献数为n/2/2/2...

Code：

const int N = 200010;
ll T, n, m, a[N];int main(){cin>>T;while(T--){cin>>n;ll ans=0;while(n){ans+=n;n/=2;}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

挺难想到的。
对于这样的二进制找规律的题，应该想到从每一位下手，而不是看整个数。