Posterior Cramér–Rao Bounds for Discrete-Time Nonlinear Filtering 阅读

Intro

在诸如迭代控制、分析以及对于非静止时间序列的预测这些问题中，无法使用最优的估计器，需要使用次优的估计器。
时不变模型中，一般使用CRB，用Fisher信息矩阵的逆给出，但是在时变的系统中，参数向量变成了随机向量，由此开发出了posterior CRB,也称Van Trees 版的CRB。
文中提出了一个适用于离散时间的多维非线性滤波的CRB。

PCRB的性质

xxx是measurement, θ\thetaθ是r维的state，g(x)是将x映射为θ\thetaθ的函数。PCRB就可以表示成下面的样子:P=E{[g(x)−θ][g(x)−θ]T}≥J−1P=E\{[g(x)-\theta][g(x)-\theta]^T\} \geq J^{-1}P=E{[g(x)−θ][g(x)−θ]T}≥J−1, J就是r × r 的fisher 信息矩阵，其中的每一个元素的定义为Ji,j=E[−∂2logpx,θ(X,Θ)∂Θi∂Θj],i,j=1,...,rJ_{i,j}=E[- \frac{\partial^2 log~p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial \Theta_{i}\partial \Theta_{j}}], i,j=1 ,..., rJi,j=E[−∂Θi∂Θj∂2log px,θ(X,Θ)],i,j=1,...,r，在引入了新的记号方式∇Θ=[∂∂Θ1,...,∂∂Θr]T\nabla_{\Theta}= [\frac{\partial}{\partial\Theta_1}, ... , \frac{\partial}{\partial\Theta_r}]^T∇Θ=[∂Θ1∂,...,∂Θr∂]T 和ΔΨΘ=∇Ψ∇ΘT\Delta_\Psi^\Theta= \nabla_\Psi \nabla_\Theta^TΔΨΘ=∇Ψ∇ΘT之后，可以得到简化版的表示形式J=E[−ΔΘΘlogpx,θ(X,Θ)]J=E[-\Delta_\Theta^\Theta log ~p_{x,\theta}(X,\Theta)]J=E[−ΔΘΘlog px,θ(X,Θ)]，又因为px,θ(X,Θ)=px∣θ(X∣Θ)⋅pθ(Θ)p_{x,\theta}(X,\Theta)=p_{x|\theta}(X|\Theta)\cdot p_\theta(\Theta)px,θ(X,Θ)=px∣θ(X∣Θ)⋅pθ(Θ)，由于用了log，所以J就可以拆成两个部分之和J=JD+JPJ=J_D+J_PJ=JD+JP，JDJ_DJD相当于生成概率，JPJ_PJP相当于先验，有JD=E[−ΔΘΘlogpx∣θ(X∣Θ)]J_D=E[-\Delta_\Theta^\Theta log ~p_{x|\theta}(X|\Theta)]JD=E[−ΔΘΘlog px∣θ(X∣Θ)]和JP=E[−ΔΘΘlogpθ(Θ)]J_P=E[-\Delta_\Theta^\Theta log ~p_{\theta}(\Theta)]JP=E[−ΔΘΘlog pθ(Θ)]，如果二者互换一下也可以写，只不过写完之后px(X)p_x(X)px(X)这项在对于Θ\ThetaΘ求偏导的过程中会变成0，就是下面这样J=E[−ΔΘΘlogpθ∣x(Θ∣X)]J=E[-\Delta_\Theta^\Theta log ~p_{\theta|x}(\Theta|X)]J=E[−ΔΘΘlog pθ∣x(Θ∣X)]，如果θ\thetaθ被拆成了两部分，θ=[θαT,θβT]T\theta=[\theta_\alpha^T, \theta_\beta^T]^Tθ=[θαT,θβT]T，J就可以跟着分块

关于θβ\theta_\betaθβ的信息子矩阵就是(15)式的右边（不带逆符号）
接下来具体化问题，假设面对的问题是一个非线性的滤波问题：

依照贝叶斯法则以及马尔可夫性以及状态的完备性设定，有

注意这里的n不是向量维度，而是时间
当我们获得了XnX_nXn的fisher信息矩阵后（也就是J(Xn)J(X_n)J(Xn)），要求n时刻的xnx_nxn的fisher信息矩阵(J(xn)J(x_n)J(xn))，就可以用上面提到的分解方法来分解，也就是Xn=[Xn−1T,xnT]TX_n=[X_{n-1}^T, x_n^T]^TXn=[Xn−1T,xnT]T，就会得到：

这样可以只对n-1阶矩阵求逆

下面的证明略去
接下来有几个常见情况下的落实
A 高斯噪声模型

假设w和v的协方差矩阵分别是Q和R，有

剩下的和我的研究方向关系不大，就不写了