Cramér-Rao bound 克拉美罗界（转）

`转自 https://www.cnblogs.com/rubbninja/p/4512765.html`

`各种研究领域（包括无线定位方向）都会碰到参数估计的问题，这时常常会看到克拉美罗界 (Cramér–Rao bound) 这个东西。很多随机信号的书都会介绍什么是克拉美罗界，但初学者学起来往往很吃力，本文从直观上简单讨论一下克拉美罗界的各个方面。`

什么是参数估计问题

　　假设一种最简单的情况：

　　　　一个物理量为 $A$ ，我们使用某种方式去观测它，观测值为 $x$ ，由于存在噪声，此时 $x=A+\omega$ ， $\omega$ 为高斯噪声， $\omega \sim N(0,\sigma ^{2})$ 。

这种情况下，我们自然会直接使用观测值 $x$ 去估计 $A$ ，这时就会存在估计的误差，直观地理解，噪声的方差 $\sigma ^{2}$ 越大，估计就可能越不准确。

为什么要讨论克拉美罗界

　　讨论克拉美罗界就是为了使用这个标准来衡量无偏估计量的性能。

　　采用上面的方式，使用 $\hat{A}=x$ 去估计 $A$ ，这个估计值会在真实值附近波动（看作随机变量）。我们需要使用一些标准来衡量这种估计的好坏，一个标准是估计值的平均，这里的这个估计量是无偏估计量。另一标准是这个估计值波动的剧烈程度，也就是方差。上面这个问题中，克拉美罗界就等于这个方差。

　　可是为什么不直接讨论方差而要去计算克拉美罗界呢，因为方差是针对某一种特定的估计量（或者理解为估计方式）而言的，在上面的例子中，方差是估计量 $\hat{A}$ 的方差（ $\hat{A}=x$ ）。对于稍微复杂一点点的问题，对 $A$ 的可以有各种不同的估计量，它们分别的方差是不同的。显然，对于无偏估计量而言，方差越小的估计方式性能越好，但是这个方差有一个下界，就是我们的克拉美罗界。

直观地理解克拉美罗界

　　克拉美罗界本身不关心具体的估计方式，只是去反映：利用已有信息所能估计参数的最好效果。

　　还是上面那个参数估计问题，当我们观察到 $x$ 的时候，我们可以知道真实值 $A$ 的概率密度分布是以 $x$ 为均值， $\sigma ^{2}$ 为方差的正态分布，即:

$p(x;A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}exp^{-\frac{1}{2\sigma ^{2}}(x-A)^{2}}$

上图给出了两个似然函数的例子，直观地看，似然函数的“尖锐”性决定了我们估计位置参数 $A$ 的精度。这个“尖锐”性可以用对数似然函数峰值处的负的二阶导数来度量，即对数似然函数的曲率（对数似然函数就是在似然函数的基础山加一个自然对数，这样有利于计算）。计算过程我就不写了，有兴趣的可以自己算算，算完之后结果为： $1/\sigma ^{2}$ ，这里正好是噪声的方差的倒数，也就是噪声越小，对数似然函数越尖锐。

　　所以，可以这样理解，似然函数的“尖锐”程度的倒数（即对数似然函数的二阶导的倒数），就是克拉美罗界。

不同的估计量（估计方式）是什么意思

　　让我们来分析一个稍微复杂一点点的参数估计问题：

　　　　一个物理量为 $A$ ，我们使用某种方式去观测它，观测值为 $x[0]$ 和 $x[1]$ ，这是两个不同时刻的观测结果，一样的高斯噪声 $\omega \sim N(0,\sigma ^{2})$ 。

　　这种情况下，我们要估计 $A$ ，正常人可能会采用估计量 $\hat{A}=0.5*x[0] + 0.5*x[1]$ ，即前后两个观测的平均，也有人可能觉得这样计算量有点大，于是总是直接使用 $\hat{A}=x[0]$ 去估计 $A$ ，也有人觉得第二个观测值可能会受到系统影响而不准确，他更相信前面的观察值，于是总采取这样的估计量 $\hat{A}=0.8*x[0] + 0.2*x[1]$ 。这三个估计量都是无偏的：

　　估计量 $\hat{A}=0.5*x[0] + 0.5*x[1]$ 的方差为： $(0.5)^{2}\sigma ^{2}+(0.5)^{2}\sigma^{2}$

　　估计量 $\hat{A}=0.8*x[0] + 0.2*x[1]$ 的方差为： $(0.8)^{2}\sigma ^{2}+(0.2)^{2}\sigma^{2}$

　　估计量 $\hat{A}=x[0]$ 的方差为： $\sigma ^{2}$

　　比较上面的三种估计量，第一种的方差最小，它的估计效果较好。实际上，如果第二个观测值真的不太准确，也就是后一个高斯噪声较大，这样的话也许第二个估计量就比较合适了。

　　因此，不同的考虑方式可以产生各种不同的估计算法，这些不同的估计量都是在真实值附近波动的随机变量(有的有偏，有的无偏)，它们分别的方差也是不一样的，但是数学家们证明了：任何无偏估计量的方差必定大于等于克拉美罗界。

克拉美罗界的基本计算

　　我们假设这两次观察互相独立，仅受相同的高斯白噪声影响，那么根据已有的信息，真实值 $A$ 的似然函数为两个正态的概率密度分布相乘：（注意：pdf实际上应该再进行归一化处理，但是我们之后使用对数似然函数，乘不乘归一化系数都无所谓，对数之后变成了常数，求导的时候就没了）

$p(x;A)=\prod_{n=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}exp^{-\frac{1}{2\sigma ^{2}}(x[n]-A)^{2}}$

与之前一样，可以计算出对数似然函数的二阶导数，得到结果为: $\sigma ^{2}/2$ 。实际上，当观测数目为 $N$ 的时候，这个值将会是 $\sigma ^{2}/N$ 。也就是说，使用多个观测值的信息时，对数似然函数越“尖锐”。这个二阶导数（曲率）更一般的度量是(下面用 $\theta$ 来表示要估计的参数 $A$ )：

$-E[\frac{\partial ^{2}ln\, p(x;\theta )}{\partial \theta ^{2}}]$

它度量了对数似然函数的平均曲率（很多情况下曲率与 $x$ 的值有关，取数学期望使得它仅为 $\theta$ 的函数），被称为数据 $x$ 的Fisher信息 $I(\theta )$ ，直观地理解，信息越多，下限越低，它具有信息测度的基本性质（非负的、独立观测的可加性）。一般来说，Fisher信息的倒数就是克拉美罗界了，任何无偏估计量 $\hat{\theta}$ 的方差满足：

$var(\hat{\theta})\geqslant\frac{1}{-E[\frac{\partial ^{2}ln\, p(x;\theta )}{\partial \theta ^{2}}]}$

大多情况下，这个不等式的右边（克拉美罗界）是 $\theta$ 的函数。

克拉美罗界的标准定义

　　（定理：Cramer-Rao下限----标量参数）

　　假定PDF $p(x;\theta )$ 满足“正则”条件（对于所有的 $\theta$ ）：

$E[\frac{\partial ln\, p(x;\theta )}{\partial \theta }]=0$

其中数学期望是对 $p(x;\theta )$ 求取的。那么，任何无偏估计量 $\hat{\theta }$ 的方差必定满足：

$var(\hat{\theta})\geqslant\frac{1}{-E[\frac{\partial ^{2}ln\, p(x;\theta )}{\partial \theta ^{2}}]}$

其中导数是在 $\theta$ 的真值处计算的，数学期望是对 $p(x;\theta )$ 求取的。而且，对于某个函数 $g$ 和 $I$ ，当且仅当

$\frac{\partial ln\, p(x;\theta )}{\partial \theta }=I(\theta )(g(x)-\theta )$

时，对所有 $\theta$ 达到下限的无偏估计量就可以求得。这个估计量是 $\hat{\theta }=g(x)$ ，它是MVU估计量（最小方差无偏估计），最小方差是 $1/I(\theta )$ 。

总结

　　估计一个参数，根据已有信息得到了似然函数（或者pdf），这个pdf的“尖锐”程度的倒数（即对数似然函数的二阶导的倒数）就是克拉美罗界。克拉美罗界的计算不依赖具体的估计方式，它可以用来作为一个衡量估计方式好坏的标准，即估计量的方差越靠近克拉美罗界，效果越好。

（似然函数是什么？）

（注：本文主要参考《统计信号处理基础-估计与检测理论》-国外电子与通信教材系列）