数学建模专栏 | 第十二篇：MATLAB CUMCM真题求解实例三：机理建模型

机理建模问题在国赛中的占比呈上升趋势，近年来的题目有重庆交警平台设置、打车软件补贴优化、开放小区等问题，本讲将以 2015 年的打车软件问题为例，介绍 MATLAB 在这类问题中的求解过程。

所介绍的 MATLAB 案例是获得 2015 年国赛 ”MATLAB创新奖” 的程序，所用的求解方法也是比较典型的机理建模方法。

1. 问题重述

1.1 背景资料与条件

出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。

1.2 需要解决的问题

（1）试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。（2）分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。（3）如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。

2. 建模与求解思路

(1) 首先要找到合理的指标；

(2) 采用机理仿真方式对打车的流程中乘客和出租车的行为进行仿真；

(3) 计算整个打车系统中的指标，优化打车方案，具体实现的主要代码如下：

%% 2015 CUMCM

clc, clear, close all

%% 数据结构设计

% passengers:

% [出发点横坐标，出发点纵坐标，目的地横坐标，目的地纵坐标，出行里程]

% 即[xs,ys,xd,yd,l]

% taxis

% [出租车位置横坐标，出租车位置纵坐标，出租车被占用里程]

% 即[x_taxi,y_taxi,lo]

%%

r_valid = 2/10;%出租车有效覆盖半径

xmax = 111*cos(pi*34/180)*1.4;

ymax = 0.7*111;

xmax = xmax/10;

ymax = ymax/10;

psnger_total = 80;

taxi_total = 152;

%先生成5000个出发点

for i = 1:psnger_total

passengers(i,:) = gen_passenger();

end

for i = 1:taxi_total

taxis(i,:) = gen_taxi();

end

figure

scatter(taxis(:,1)*10,taxis(:,2)*10)

xlabel(‘x(km)‘)

ylabel(‘y(km)‘)

all_B = [];

all_K = [];

for i = 1:200

%% 首先更新出租车状态

lc = taxis(:,3) - 0.01;%出租车被占用里程

lc(lc < 0) = 0;

taxis(:,3) = lc;

%空车随机一个方向前进0.01

valid_lines = find( lc == 0 );

all_K = [all_K,1-length(valid_lines)/taxi_total];

for m = 1:length(valid_lines)

k = valid_lines(m);

while(1)

degree = 2*pi*rand();%出行方向

new_x = taxis(k,1) + 0.01.*cos(degree);

new_y = taxis(k,2) + 0.01.*sin(degree);

if(new_x>=0 && new_x<=xmax && new_y>=0 && new_y<=ymax)

taxis(k,1:2) = [new_x,new_y];

break

end

end

end

%% 乘客加入系统

add_passengers_total = 4;%round(normrnd(10,3));

add_passengers = zeros(add_passengers_total,5);

for n = 1:add_passengers_total

add_passengers(n,:) = gen_passenger();

end

passengers = [passengers;add_passengers];

%% 计算各乘客视野内出租车数目

for j = 1:length(passengers)

p = passengers(j,:);

if isnan(p(1))

continue

end

temp_taxis = taxis;

%被占用的出租车不参与打车

invalid_lines = find(temp_taxis(:,3)>0);

temp_taxis(invalid_lines,:) = nan;

%% 然后是乘客乘车

r = sqrt((temp_taxis(:,1)-p(1)).^2+(temp_taxis(:,2)-p(2)).^2);

taxi_num = find(r<r_valid);%视野范围内的车辆

if isempty(taxi_num)%视野内没有车，下一位乘客

continue;

else

%随机选一辆乘坐

index = round(rand()*(length(taxi_num)-1))+1;

taxi_num = taxi_num(index);

taxis(taxi_num,3) = p(5) + sqrt((taxis(taxi_num,1)-p(1))^2+(taxis(taxi_num,2)-p(2))^2);%此乘客p乘坐的出租车被占用

taxis(taxi_num,1) = p(3);taxis(taxi_num,2) = p(4);%将其更新到目的地

passengers(j,:) = nan;%更新乘客状态，上车的乘客变为nan，移出系统

end

end

all_B = [all_B,calcu_b(passengers,taxis)];

end

figure

hold on

scatter(taxis(:,1)*10,taxis(:,2)*10,’g*‘)

legend(‘初始位置‘,’一段时间后位置‘)

%20次演化后才得到平时状态，故只保留20次之后的数据

pos = (20:length(all_B));

figure

plot((pos-20)/4.5,all_B(pos));

xlabel(‘时间(分钟)’)

ylabel(‘数目不平衡度‘)

figure

plot((pos-20)/4.5,all_K(pos));

xlabel(‘时间(分钟)’)

ylabel(‘里程利用率‘)

figure

res = sqrt( ((all_K-0.66)./0.66).^2 + (all_B-1).^2 );

plot((pos-20)/4.5,res(pos));

xlabel(‘时间(分钟)’)

ylabel(‘供需不平衡度‘)

程序的仿真结果如图 1、图 2 所示。

图 1 出租车初始位置

图 2 评价指标随时间的变化趋势图

3. 点评

本问题如果按照传统的建模方法，无论是建模还是求解难度都比较大，但如果采用元胞自动机思想的仿真法，就可以利用系统的方法对整个系统进行仿真，再通过参数优化得到最佳的补贴。

程序本身虽然还有不少可以改进的地方，但总的来说，程序的建模思路清晰，程序框架和模块的构造都比较合理，编程中使用了分节、注释、变量预定义、函数定义等方法，使得整个程序既具备良好的功能性，也体现了可读性、性能提升等程序开发细节，在三天时间内能达到这个水平，确实不容易。

当然在此基础上还有不少可以提升、拓展的空间，比如如何在此程序基础上结合不同的城市或区域，仿真出更真实的打车情况，另外，还可以在指标上拓展思路，比如一个指标还是有些偏面，但既然可以做仿真，各种指标都可以仿真出来，对提升整个建模水平还是比较有帮助的。

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