H264-整数DCT变换和蝶形变换代码实现

背景

为压缩数据，H264标准需要使用整数DCT变换把图像信号转换到频域。变换过程实际上就是矩阵乘法，使用蝶形变换可以减少运算量，提升算法性能。

原理

整数DCT变换公式推导过程不再赘述，可以参考《深入理解视频编解码技术 --基于H264标准及参考模型》。
以4x4为例，变换公式如下：

  Y = Cf * X * Cf.T其中 Cf = [1, 1,  1,  1,2, 1, -1, -2,1,-1, -1,  1,1,-2,  2, -1]

展开如下：

先以Cf*X 为例，矩阵乘需要进行64次乘法和48次加法，这将耗费较多的时间。蝶形算法则是利用构造的矩阵的整数性质和对称性，将乘法运算转化为加法运算。
先分析两个相乘矩阵的第一列，结果如下：
p0 = x00+x30\color{#FF0000} { x00 + x30}x00+x30 + x10+x20\color{#00FF00}{x10 + x20 }x10+x20
p1 = 2∗x00+2∗x30\color{#FF0000}{2 * x00+2 * x30}2∗x00+2∗x30 + x10−x20\color{#00FF00}{x10 - x20}x10−x20
p2 = x00−x30\color{#FF0000} { x00 - x30}x00−x30 - x10−x20\color{#00FF00}{x10 - x20}x10−x20
p3 = x00−x30\color{#FF0000} {x00- x30}x00−x30 - 2∗x10+2∗x20\color{#00FF00}{2 * x10 + 2 * x20}2∗x10+2∗x20
从上面公式我们发现有重复运算（使用不同颜色标识），从一般算法意义上来说，可以用空间代价换时间代价，比如设置中间变量来减少计算次数。
提取中间结果：
M0 = x00 + x30
M3 = x00 - x30
M1 = x10 + x20
M2 = x10 - x20
存储了这四个中间变量，我们对比看看蝶形图，和图中第一层的算式相符合。用这些中间变量来组合，就可以把最终的p0…p3, 计算出来。这样，就把运算量降低到2个乘法和8个加法，剩余的运算就是叠代这个算法。

所以，可以得出以下结论：

这个蝶形图和一般意义的FFT或FDCT蝶形图不同，是对H.264在整数DCT基础上的具体算法优化，只对于以上Cf矩阵。
计算过程是把上面的三个4x4矩阵乘法分成两两矩阵相乘。再把残差矩阵和后来的中间结果Cf x X一行行分别输入蝶形图进行一维整数DCT计算。
蝶形图优化思想就是提取矩阵的相关部分，定义中间变量，减少运算次数。

代码示例

以下代码分别用传统矩阵运算和蝶形运算计算结果并对比结果

#include <iostream>
using namespace std;//Cf矩阵
int Cf[4][4]=
{1, 1,  1,  1,2, 1, -1, -2,1,-1, -1,  1,1,-2,  2, -1
};void matrixTransform(int a[][4])
{int i, j;int tmp;for(i=0; i<4; i++){for(j=i; j<4; j++){tmp = a[i][j];a[i][j] = a[j][i];a[j][i] = tmp;}}
}//矩阵求积
// c = a * b
void  matrixMultiply_4x4(int a[][4],int b[][4],int c[][4])
{int i, j, k;for(i = 0; i < 4; i++){for(j = 0; j < 4; j++){c[i][j] = 0;for(k = 0; k < 4; k++){c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];  }}}
}//矩阵显示
void matrixShow(int a[][4])
{int i, j;cout << "*****************************" << endl;for(i = 0; i < 4; i++){for(j = 0; j < 4; j++){cout << a[i][j] << "\t";}cout << endl;}cout << "*****************************" << endl << endl;
}// 蝶形变换求解 Cf* orgYUV * Cf.T
// b为输出matrix， a为输入
void forward4x4(int a[][4], int b[][4])
{int tmp[16];int p0,p1,p2,p3;int t0,t1,t2,t3;int i, j;int *ptmp = tmp;//horizontal， Cf*orgYUV for(i=0; i<4; i++){t0 = a[0][i];t1 = a[1][i];t2 = a[2][i];t3 = a[3][i];p0 = t0+t3;p1 = t1+t2;p2 = t1-t2;p3 = t0-t3;*(ptmp++) = p0+p1;*(ptmp++) = p2+ (p3<<1); // 加运算符优先级要于左移 *(ptmp++) = p0-p1;*(ptmp++) = p3- (p2<<1);}    //verticalfor(int i=0; i<4; i++){t0 = tmp[i];t1 = tmp[i+4];t2 = tmp[i+2*4];t3 = tmp[i+3*4];p0 = t0+t3;p1 = t1+t2;p2 = t1-t2;p3 = t0-t3;b[i][0] = p0+p1;b[i][1] = p2+ (p3<<1);b[i][2] = p0-p1;b[i][3] = p3- (p2<<1);}
}int main(int argc, char** argv) {//原始的YUV矩阵int orgYUV[4][4] ={-85, 88, 126, 121,-79, 70,  65,  83,-80, 66,  49,  43,-82, 86,  97,  41};int D[4][4];int W[4][4];// W = Cf* orgYUV * Cf.TmatrixMultiply_4x4(Cf, orgYUV, D);matrixTransform(Cf);    matrixMultiply_4x4(D, Cf, W);cout << "====== W =====" << endl;matrixShow(W);forward4x4(orgYUV, W);cout << "====== butter W =====" << endl;matrixShow(W);return 0;
}

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