前段时间看了一期《最强大脑》，里面各种繁花曲线组合成了非常美丽的图形，一时心血来潮，想尝试自己用代码绘制繁花曲线，想怎么组合就怎么组合。

真实的繁花曲线使用一种称为繁花曲线规的小玩意绘制，繁花曲线规由相互契合大小两个圆组成，用笔插在小圆上的一个孔中，紧贴大圆的内壁滚动，就可以绘制出漂亮的图案。这个过程可以做一个抽象：有两个半径不相等的圆，大圆位置固定，小圆在大圆内部，小圆紧贴着大圆内壁滚动，求小圆上的某一点走过的轨迹。

进一步分析，小圆的运动可以分解为两个部分：小圆圆心绕大圆圆心公转、小圆绕自身圆心自转。设大圆圆心为A，半径为Ra，小圆圆心为B，半径为Rb，轨迹点为C，半径为Rc(BC距离)，设小圆公转的弧度为 θ [0, ∞)，如图：

因为大圆的圆心坐标是固定的，要求得小圆上的某点的轨迹，需要先求出小圆当前时刻的圆心坐标，再求出小圆自转的弧度，最后求出小圆上某点的坐标。

第一步：求小圆圆心坐标

小圆圆心的公转轨迹是一个半径为 RA- RB的圆，求小圆圆心坐标，相当于是求半径为 RA- RB的圆上 θ 弧度对应的点的坐标。

圆上的点的坐标公式为：

x = r * cos(θ), y = r * sin(θ)

小圆圆心坐标为：( xa + (Ra - Rb) * cos(θ),  ya + (Ra - Rb) * sin(θ) )

第二步：求小圆自转弧度

设小圆自转弧度为α，小圆紧贴大圆运动，两者走过的路程相同，因此有：

Ra * θ = Rb * α

小圆自转弧度 α = (Ra / Rb) * θ

第三步：求点C坐标

点C相对小圆圆心B的公转轨迹是一个半径为 Rc 的圆，类似第一步，有：

轨迹点C的坐标为：( xa + Rc * cos(θ),  ya + Rc * sin(θ) )

按照以上算法分析，用python代码实现如下：

1 #-*- coding: utf-8 -*-

2

3 import math

4

5 '''

6 功能：7 已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标8 入参：9 center：圆心10 radius：半径11 radian：弧度12 '''

13 def get_point_in_circle(center, radius, radian):

14 return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))

15

16 '''

17 功能：18 内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径，已知公转弧度和绕点半径，计算绕点坐标19 入参：20 center_A：外圆圆心21 radius_A：外圆半径22 radius_B：内圆半径23 radius_C：绕点半径24 radian：公转弧度25 '''

26 def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):

27 #计算内圆圆心坐标

28 center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)

29 #计算绕点弧度(公转为逆时针，则自转为顺时针)

30 radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))

31 #计算绕点坐标

32 return get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)

有两点需要注意：

(1)屏幕坐标系左上角为原点，垂直向下为Y正轴，与数学坐标系Y轴方向相反，所以第14行Y坐标为减法；

(2)默认公转为逆时针，则自转为顺时针，所以第30行求自转弧度时，使用了2π - α%(2π)；

坐标已经计算出来，接下来使用pygame绘制。思想是以0.01弧度为一个步长，不断计算出新的坐标，把一系列坐标连起来就会形成轨迹图。

为了能够形成一个封闭图形，还需要知道绘制点什么时候会重新回到起点。想了一个办法，以X轴正半轴为基准线，每次绘制点到达基准线，计算此时绘制点与起点的距离，达到一定精度认为已经回到起点，形成封闭图形。

1 '''计算两点距离(平方和)'''

2 def get_instance(p1, p2):

3 return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])

4

5 '''

6 功能：7 获取绕点路径的所有点的坐标8 入参：9 center：外圆圆心10 radius_A：外圆半径11 radius_B：内圆半径12 radius_C：绕点半径13 shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大14 '''

15 def get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):

16 #转为实数

17 radius_A *= 1.0

18 radius_B *= 1.0

19 radius_C *= 1.0

20

21 P2 = 2*math.pi #一圈的弧度为 2PI

22 R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian/4) + 1 #一圈需要走多少步(弧度偏移多少次)

23

24 #第一圈的起点坐标

25 start_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, 0)

26 points = [start_point]

27 #第一圈的路径坐标

28 for r in range(1, R_PER_ROUND):

29 points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r))

30

31 #以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束

32 for round in range(1, 100):

33 s_radian = round*P2

34 s_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)

35 if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:

36 break

37 points.append(s_point)

38 for r in range(1, R_PER_ROUND):

39 points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r))

40

41 return points

再加上绘制代码，完整代码如下：

1 #-*- coding: utf-8 -*-

2

3 import math

4 import random

5

6 '''

7 功能：8 已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标9 入参：10 center：圆心11 radius：半径12 radian：弧度13 '''

14 def get_point_in_circle(center, radius, radian):

15 return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))

16

17 '''

18 功能：19 内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径、公转弧度，已知绕点半径，计算绕点坐标20 入参：21 center_A：外圆圆心22 radius_A：外圆半径23 radius_B：内圆半径24 radius_C：绕点半径25 radian：公转弧度26 '''

27 def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):

28 #计算内圆圆心坐标

29 center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)

30 #计算绕点弧度(公转为逆时针，则自转为顺时针)

31 radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))

32 #计算绕点坐标

33 center_C = get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)

34 center_B_Int = (int(center_B[0]), int(center_B[1]))

35 return center_B_Int, center_C

36

37 '''计算两点距离(平方和)'''

38 def get_instance(p1, p2):

39 return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])

40

41 '''

42 功能：43 获取绕点路径的所有点的坐标44 入参：45 center：外圆圆心46 radius_A：外圆半径47 radius_B：内圆半径48 radius_C：绕点半径49 shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大50 '''

51 def get_points(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):

52 #转为实数

53 radius_A *= 1.0

54 radius_B *= 1.0

55 radius_C *= 1.0

56

57 P2 = 2*math.pi #一圈的弧度为 2PI

58 R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian) + 1 #一圈需要走多少步(弧度偏移多少次)

59

60 #第一圈的起点坐标

61 start_center, start_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, 0)

62 points = [start_point]

63 centers = [start_center]

64 #第一圈的路径坐标

65 for r in range(1, R_PER_ROUND):

66 center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r)

67 points.append(point)

68 centers.append(center)

69

70 #以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束

71 for round in range(1, 100):

72 s_radian = round*P2

73 s_center, s_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)

74 if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:

75 break

76 points.append(s_point)

77 centers.append(s_center)

78 for r in range(1, R_PER_ROUND):

79 center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r)

80 points.append(point)

81 centers.append(center)

82

83 print(len(points)/R_PER_ROUND)

84

85 return centers, points

86

87 import pygame

88 from pygame.locals import *

89

90 pygame.init()

91 screen = pygame.display.set_mode((600, 400))

92 clock = pygame.time.Clock()

93

94 color_black = (0, 0, 0)

95 color_white = (255, 255, 255)

96 color_red = (255, 0, 0)

97 color_yello = (255, 255, 0)

98

99 center = (300, 200)

100 radius_A = 150

101 radius_B = 110

102 radius_C = 50

103

104 test_centers, test_points = get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C)

105 test_idx = 2

106 draw_point_num_per_tti = 5

107

108 while True:

109 for event in pygame.event.get():

110 if event.type==pygame.QUIT:

111 pygame.quit()

112 exit(0)

113

114 screen.fill(color_white)

115

116 pygame.draw.circle(screen, color_black, center, int(radius_A), 2)

117

118 if test_idx <= len(test_points):

119 pygame.draw.aalines(screen, (0, 0, 255), False, test_points[:test_idx], 1)

120 if test_idx < len(test_centers):

121 pygame.draw.circle(screen, color_black, test_centers[test_idx], int(radius_B), 1)

122 pygame.draw.aaline(screen, color_black, test_centers[test_idx], test_points[test_idx], 1)

123 test_idx = min(test_idx + draw_point_num_per_tti, len(test_points))

124

125 clock.tick(50)

126 pygame.display.flip()

效果：