回顾子集构造（NFA→\rightarrow→DFA）

正则语言的闭包结果

正则语言的 Union 依然是正则语言

• A,BA,BA,B 是两个正则语言，他们通过 ϵ\epsilonϵ 组成了一个 NFA ，他可以表示为 A∪BA\cup BA∪B；我们要在状态开始的时候使用 ϵ\epsilonϵ 来连接两个 DFA
  

正则语言的 concatenate ○○○ 操作依然是正则的

• 图中下半部分表示第一个语言的某两种状态通过 ϵ\epsilonϵ 进行 concate 组成了第二种语言的某种状态；这样组成的新语言依然是正则语言

正则语言的 kleenestarkleene~ starkleene star 依然是正则语言

正则语言的其他闭包性质

• 两个正则语言的 intersection（交集）依然是正则语言
• 正则语言的补集（complement）依然是正则语言 A,ACA, A^CA,AC
• 正则语言的差集（difference）依然是正则语言 A∖BA \setminus BA∖B
• 正则语言的取反（reversal）依然是正则语言

如何构造 DFA 的运算算法（构造 DFA 的交、并、补集）

如何构造最小的 DFA（指包括最少状态数的 DFA）

• 因为我们无法保证通过某种算法可以得到最小的 DFA，如下图所示，我们不知道他是否为最简 DFA
• 但是由于 DFA 拥有唯一的起始状态，并且转移函数是固定的，因此我们可以测试两个 DFA 的等价性从而找出最小的 DFA
  
• 要构造最小的 DFA 要不断重复以下步骤
  • 翻转 NFA
  • 确定化结果
  • 再翻转
  • 再次确定化结果
• 翻转 NFA 的方式也很简单：
  1. 那就是将所有的状态上的线调转方向
  2. 将接受（accept）状态节点和初始节点（start）互换
     

构造最小化 DFA 举例

• 这是我们要最小化的 NFA, 我们在下面的步骤中通过它得到一个最小的 DFA
  

• 第一步： 翻转（1节点和 2 节点的功能互换，原本 1 是初始节点，2是accept 节点，现在调转一下 1 变成了 accept 节点，2 变成了初始节点）
  

• 第二步： 通过调转的 NFA 进行确定化得到当前状态下的 determinism 的结果
  

• 因为最终状态中 5,65,65,6 包含原来的 111 状态（即 accept 状态），因此，5,65,65,6 应该被标定为出口

• 第三步 再次调转已经得到的 NFA ；5,65,65,6 变成了起始状态；444 变成了 accept 状态
  

• 第四步： 重复第二步的 determinism 得到最后的状态
  
  

正则表达式

• 各种编程语言中几乎都涉及正则表达式
• (0∪1)(0∪1)(0∪1)((0∪1)(0∪1)(0∪1))∗(0 ∪ 1)(0 ∪ 1)(0 ∪ 1)((0 ∪ 1)(0 ∪ 1)(0 ∪ 1))^∗(0∪1)(0∪1)(0∪1)((0∪1)(0∪1)(0∪1))∗ 代表一个长度为 3 的倍数的非空字符串
• ∗*∗ 运算的优先级高于 concatenate；concatenate 高于 union

正则表达式语法和语义

正则表达式举例

正则表达式和自动机（Regular Expression VS. Automata）

构造单个起始状态的 NFA

• 正则表达式和有限状态的自动机是等价的，而且有限状态机的起始状态只能有一个
• 在下面的例子中，我们假设每个 NFA 的起始状态只有一个，那么对于一个多起始状态的 NFA NNN 我们可以表示成若干个 N′N^{'}N′ 的通过 ϵ\epsilonϵ 的并联
  
• 这个式子δ′(q,v)\delta^{'}(q,v)δ′(q,v) 中，qiq_iqi​ 代表的就是原本的 多个起始状态 qqq 统一用 qiq_iqi​ + ϵ\epsilonϵ 代替；而其他不是起始状态开始的节点则遵循原本的 δ\deltaδ 转换状态。
  

正则语言 →\rightarrow→ NFA 举例（单个起始状态）：(a∪b)∗bc(a ∪ b)^∗bc(a∪b)∗bc

• 国外的书籍和课件 是按照这种方式进行构造和转换的
  

构造单个 accept 状态的 NFA

• 可以看到下图的 NNN 中有 3 个终止状态
• 汇总起始状态和将初始状态分开都同样使用 ϵ\epsilonϵ
• 例如下图的例子：
  
• 图中的 δ′(q,v)\delta^{'}(q,v)δ′(q,v) 代表的就是将状态转换函数分成了两类：
  • 如果是原来 accept 状态，那么就添加一个新的状态 qfq_fqf​ 并且把原来所有的 accept 状态都通过 ϵ\epsilonϵ 连接过去
  • 原来的其他状态则不需要进行调整，维持原本的样子
• 所以我们看到下图中的三个原本的 accept 状态都通过 ϵ\epsilonϵ 连到了新的 “唯一的 accpet” 状态 qfq_fqf​
  

（兴趣读物：国内课本的方法）通过正则语言构造 NFA

• 当我们获得一个正则语言，我们如果要构造 NFA（单起始状态的），我们只需要不断重复下面 三个步骤 即可：（国内书籍版本）
  • 将 concatenate 操作分成两个串联的部分
  • 将 union （|）操作分成两个并联的部分
  • 将闭包运算 * 分成第三种情况
    

正则语言 →\rightarrow→ NFA 举例

化简 “单个” 起始和 accept 状态的 NFA

• 上文已经分别介绍了如何构造单个起始状态的 NFA 和 单个 accept 状态的 NFA
• 现在对于中间的状态进行重复地替换（使用正则表达式）以简化 NFA；方法就是把线上的 字符 用正则表达式来替换；并不断重复这个过程
• 如下图所示，我们的 NFA 现在已经是 单个起始状态和单个 accpet 状态；弧线上表示的 R1,R2,...R_1,R_2,...R1​,R2​,... 都是 正则表达式，假设我们通过化简可以得到下面的两个 NFA 的表示 :
  • (R1∪R2R3∗R4)∗R2R3∗(R_1 ∪ R_2R_3^∗R_4)^∗R_2R_3^∗(R1​∪R2​R3∗​R4​)∗R2​R3∗​
  • R∗R^*R∗
    
    通过下面例子来进行演示：假设化简的是下面的例子
    
• 首先先把上面的两个 accept 状态的图转换成一个 accept 状态，根据上面的知识
  
• 通过正则表达式来替换线上的字符从而实现状态的化简：
  
• 再次通过正则表达式来合并中间的步骤
  
• 最终把中间状态逐渐换成正则表达式；得到了最简的 NFA
  
• 而上述的式子就相当于我们最开始引入的 (R1∪R2R3∗R4)∗R2R3∗(R_1 ∪ R_2R_3^∗R_4)^∗R_2R_3^∗(R1​∪R2​R3∗​R4​)∗R2​R3∗​
  
• 因此我们容易得到以下替换：
  

扩展

• 下图中表示的：一个进，一个出，一个循环的这种状态可以被固定的写成 R1R2∗R3R_1R_2^∗R_3R1​R2∗​R3​

• 如果有 mmm 个进入的弧线，nnn 个出去的弧线，那么这些弧线可以被 m×nm×nm×n 个循环弧线所代替。
  

正则表达式的定理

正则语言的局限性

{0n1n∣n≥0}={ϵ,01,0011,000111,...}\{0^n1^n | n ≥ 0\} = \{\epsilon, 01, 0011, 000111, . . .\}{0n1n∣n≥0}={ϵ,01,0011,000111,...}

• 对于上面的语言我们无法使用 DFA 来识别，即：他不是一个正则语言。

通过泵引理（Pumping Lemma）来验证正则语言

• pumping lemma 只能证明一个语言不是正则语言，不能证明一个语言是正则语言；即：满足 pumping lemma 不一定是正则语言，但是不满足 pumping lemma 一定不是正则语言

泵引理反证法实例

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