Python求离散序列导数

有一组4096长度的数据，需要找到一阶导数从正到负的点，和三阶导数从负到正的点，截取了一小段。

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按照之前所了解的，对离散值求导其实就是求差分，例如第i点的导数（差分）为：
y(s)i=C−myi−m+C−m+1yi−m−1+...+Cm−1yi+m−1+Cmyi+my_i^{(s)}=C_{-m}y_{i-m}+C_{-m+1}y_{i-m-1}+...+C_{m-1}y_{i+m-1}+C_{m}y_{i+m}

即在一个宽度为2m+1的窗口内通过计算前后m个值加权后的和得到。但是在实际使用过程中效果不是很好。于是想到了同样在一个宽度为2k+1的窗口内，将这2k+1个点拟合成一个函数，然后求导就可以得到任意阶数的导数值。

首先是函数拟合，使用from scipy.optimize import leastsq即最小二乘拟合

from scipy.optimize import leastsq
class search(object):def __init__(self, filename):self.filename = filenamedef func(self, x, p):f = np.poly1d(p)return f(x)def residuals(self, p, x, y, reg):regularization = 0.1  # 正则化系数lambdaret = y - self.func(x, p)if reg == 1:ret = np.append(ret, np.sqrt(regularization) * p)return retdef LeastSquare(self, data, k=100, order=4, reg=1, show=1):  # k为求导窗口宽度,order为多项式阶数,reg为是否正则化l = self.lenstep = 2 * k + 1p = [1] * orderfor i in range(0, l, step):if i + step < l:y = data[i:i + step]x = np.arange(i, i + step)else:y = data[i:]x = np.arange(i, l)try:  r = leastsq(self.residuals, p, args=(x, y, reg))except:print("Error - curve_fit failed")fun = np.poly1d(r[0])  # 返回拟合方程系数df_1 = np.poly1d.deriv(fun)  # 求得导函数df_2 = np.poly1d.deriv(df_1)df_3 = np.poly1d.deriv(df_2)df_value = df_1(x)df3_value = df_3(x)

fun = np.poly1d(r[0]),fun返回的是一个 polynomial class，具体使用可以见官方文档numpy.poly1d
polynomial对象可以使用deriv方法求导数，求得的依然是 polynomial对象。 df_value = df_1(x)所得到的就是x这个几个点求得的导数值。

看似大功告成，但是求导的结果并不是很好，如下图，实际最高点在100左右，但是拟合出来的曲线最高点在120左右，而原因在于使用多项式拟合很难准确拟合曲线。

于是想用高斯函数来实现对曲线的拟合，在matlab中试了下，三阶高斯拟合可以很好的拟合曲线，

但是numpy以及sicpy中没有找到类似poly1d这种对象，虽然可以自己定义高斯函数，如下

    def gaussian(self, x, *param):fun = param[0]*np.exp(-np.power(x - param[2], 2.) / (2 * np.power(param[4],        2.)))+param[1]*np.exp(-np.power(x - param[3], 2.) / (2 * np.power(param[5], 2.)))return fun

但是，在通过最小二乘拟合得到函数参数后只能得到拟合后的点，无法直接求导数..所以并不适合。

所以还是只能回到多项式拟合，如果4阶多项式不能表征的话，更高阶的呢

总体来说，效果还是可以接受的。

如果下阶段找到好的高斯函数拟合方法，会继续更新。

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