【数学】-1的根号二次方等于多少？

突然发现我这博客咋啥都开始写了呢。。。
上微积分课胡思乱想系列。。。

显然这个东西在数学上是没有定义的。
包括 −1 -1的 13 \frac13次方这样的东西，数学上的定义也挺模糊的
不过我们可以想想这东西应该怎么定义。。。

首先，从定义出发，一个数 a a的kk次方( k∈Z k\in \mathbb{Z})如何定义？
k k个aa连乘。
因为乘法在 R \mathbb R上均有定义，所以 a a的正整数次方在R\mathbb R上均有定义。

接下来，一个数 a a的负kk次方( k∈Z k\in \mathbb{Z})该如何定义？
根据 k>0 k>0时候的定义有 ak1∗ak2=ak1+k2 a^{k_1}*a^{k_2}=a^{k_1+k_2}，因此定义应该将这个性质延续下去，即 a−k∗ak+1=a−k+k+1=a a^{-k}*a^{k+1}=a^{-k+k+1}=a， a−k=aak+1=1ak a^{-k}=\frac a{a^{k+1}}=\frac1{a^k}
据此也有 a0=ak∗a−k=1 a^0=a^k*a^{-k}=1
1/0 1/0无定义，因此以上二者的定义域都是 a∈{x|x∈R,x≠0} a\in \{x|x\in\mathbb R,x\neq0\}

整数域已经做完了，下面我们该进入有理数域了。

一个数 a a的pq\frac pq次方等于多少？
和上面类似，根据整数时候的定义有 (ak1)k2=ak1k2 (a^{k_1})^{k_2}=a^{k_1k_2}，因此新的定义应该将这个性质延续下去，即 (ap/q)q=ap (a^{p/q})^q=a^p
即 ap/q a^{p/q}是 ap a^p的 q q次方根

什么是apa^p的 q q次方根？
定义apa^p的 q q次方根为方程xq=apx^q=a^p的解
当 q q为奇数的时候这个方程在R\mathbb R上有唯一解，但 q q为偶数的时候，当ap≥0a^p\geq0时在 R \mathbb R上有两个解，当 ap a^p为负数的时候在 R \mathbb R上无解！
为了保护一些函数的优雅性质，当 ap≥0 a^p\geq0时我们定义了算数次方根为二者中非负的那个，至于 ap<0 a^p，我们不讨论了……
可是负数很可怜不是么？
比如 (−8)13 (-8)^{\frac13}按照定义在实数上是有定义的啊……
而且照着这定义来会出事……
比如根据定义， (−8)13 (-8)^{\frac13}是 x3=−8 x^3=-8在 R \mathbb R上的唯一解 −2 -2，可是 (−8)13=(−8)26 (-8)^{\frac13}=(-8)^{\frac26}是 x6=64 x^6=64的非负实数解，即 2 2……

这个问题我们放在后面讨论吧。

终于到了无理数了。
显然根据我们已有的运算，我们没什么办法把一个无理数次方的运算搞到有理数域去。

我们的第一想法是利用泰勒展开
设函数
f(x)=(x+1)α=10!+αx1!+α(α−1)x22!+α(α−1)(α−2)x33!+...f(x)=(x+1)^\alpha=\frac1{0!}+\frac{\alpha x}{1!}+\frac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2!}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^3}{3!}+...
易证当 α \alpha为正无理数时这东西收敛当且仅当 x∈[−1,1] x\in[-1,1]

不过用这个方法我们可以知道正数的无理数次方的定义
以 2√ \sqrt2为例，假设我们想要知道 a2√(a>0) a^\sqrt2(a>0)的值
若 a∈(0,1] a\in(0,1]，直接将 x=a−1 x=a-1代入泰勒展开式，其极限即为 a2√ a^\sqrt2
若 a∈(1,+∞) a\in(1,+\infty)，将 x=1a−1 x=\frac1a-1代入泰勒展开式，其极限的倒数即为 a2√ a^\sqrt2
由此我们得到了实数域上正数的无理数次方的定义。

负数呢？尝试代入 x+1<0 x+1，即 x<−1 x，不收敛，GG

……

实数域上能做的事情我们似乎都做完了，扩展到复数域上去吧。

根据欧拉定理，我们可以把一个正实数 a a写成a∗e2kπia*e^{2k\pi i}，一个负实数 a a写成−a∗e(2k+1)πi-a*e^{(2k+1)\pi i}，0我们不讨论了
左侧部分是个正实数，正实数的任意实数次方在实数下都是有定义的，所以算完之后乘一下就行了，以下我们只考虑右侧部分，即 |a|=1 |a|=1

那么 (ekπi)α=ekαπi (e^{k\pi i})^\alpha=e^{k\alpha\pi i}，这个在 α∈R \alpha\in\mathbb R上均有定义，可是……做完了？

整数域似乎没什么问题，不过看看有理数，我们之前说算数次方根是取了非负的那个，可是现在是复数域……
什么是非负？

复数域没有非负的概念，也就是说我们只能把两个根无差别全都拎过来了。
用一个集合表示怎么样？

定义：一个实数 x x的α\alpha次方集合 Z(x,α)={α∗k|k∈Z,|x|ekπi=x} Z(x,\alpha)=\{\alpha*k|k\in\mathbb Z,|x|e^{k\pi i}=x\}
例如：
Z(1,1)={2k|k∈Z} Z(1,1)=\{2k|k\in\mathbb Z\}
Z(−1,1)={2k+1|k∈Z} Z(-1,1)=\{2k+1|k\in\mathbb Z\}
Z(1,2)={4k|k∈Z} Z(1,2)=\{4k|k\in\mathbb Z\}
Z(−1,2)={4k+2|k∈Z} Z(-1,2)=\{4k+2|k\in\mathbb Z\}

因为这个定义是我自己瞎BB的所以我也不知道数学上到底有没有这玩意以及这玩意的各种性质对不对

容易发现，虽然集合是无限集，但是由于 e2πi=1 e^{2\pi i}=1，所以实际上取值未必是无限的。

那么我们来看看 α∈Q \alpha\in\mathbb Q的情况
Z(1,12)={k|k∈Z} Z(1,\frac12)=\{k|k\in\mathbb Z\}， ekπi e^{k\pi i}取值只有两个， 1 1和−1-1，对应 x2=1 x^2=1的两个实数解
Z(−1,12)={k+12|k∈Z} Z(-1,\frac12)=\{k+\frac12|k\in\mathbb Z\}， e(k+12)πi e^{(k+\frac12)\pi i}取值只有两个， i i和−i-i，所以 x2=−1 x^2=-1无实数解
Z(1,13)={23k|k∈Z} Z(1,\frac13)=\{\frac23k|k\in\mathbb Z\}， e23kπi e^{\frac23k\pi i}取值有三个， 1,e23πi,e43πi 1,e^{\frac23\pi i},e^{\frac43\pi i}，其中 1 1是x3=1x^3=1的唯一实数解
Z(−1,13)={2k+13|k∈Z} Z(-1,\frac13)=\{\frac{2k+1}3|k\in\mathbb Z\}， e2k+13πi e^{\frac{2k+1}3\pi i}取值有三个， e13πi,−1,e53πi e^{\frac13\pi i},-1,e^{\frac53\pi i}，其中 −1 -1是 x3=−1 x^3=-1的唯一实数解

这样就完美了。

之前的问题： (−1)13?=(−1)26 (-1)^{\frac13}?=(-1)^{\frac26}
换句话讲， Z(−1,13)?=Z(−1,26) Z(-1,\frac13)?=Z(-1,\frac26)
根据定义，二者显然相等
但是， Z(−1,26)≠Z(1,16) Z(-1,\frac26)\neq Z(1,\frac16)
这也就告诉我们 Z Z函数不满足Z(xα,β)=Z(x,αβ)Z(x^\alpha,\beta)=Z(x,\alpha\beta)
当然， x x非负的时候二者的值域是相等的，这个再说了。

-没有运算法则的话，要这东西有啥用？
-它能告诉你−1-1的 2√ \sqrt2次方等于多少啊！
-那等于多少啊？

根据定义，
Z(−1,2√)={(2k+1)2√|k∈Z} Z(-1,\sqrt2)=\{(2k+1)\sqrt2|k\in\mathbb Z\}
容易发现， ∀k1≠k2,(2k1+1)2√−(2k2+1)2√=22√(k1−k2)≠2k \forall k_1\neq k_2,(2k_1+1)\sqrt2-(2k_2+1)\sqrt2=2\sqrt2(k_1-k_2)\neq2k，所以任意两个 e(2k+1)2√πi e^{(2k+1)\sqrt2\pi i}都不相等，值域是个无限集
那么这其中有没有实数呢？
显然， (2k+1)2√ (2k+1)\sqrt2一定是个无理数，而 e(2k+1)2√πi e^{(2k+1)\sqrt2\pi i}是实数要求 (2k+1)2√ (2k+1)\sqrt2是个整数，因此没有。

所以， (−1)2√ (-1)^{\sqrt2}在 R \mathbb R上无定义。

类似地，我们可以知道
Z(1,2√)={22√k|k∈Z} Z(1,\sqrt2)=\{2\sqrt2k|k\in\mathbb Z\}
它的值域同样是个无限集，但是比较幸运的是这个无限集里有个 e22√∗0πi=1 e^{2\sqrt2*0\pi i}=1，这也是 12√ 1^\sqrt2在实数域下的唯一定义。

大概就这么多了吧，这东西可以理解为幂运算在复数域下的一次延拓，至于这东西有啥用，反正它能告诉你 −1 -1的根号二次方不是实数，剩下的事情留给后人去探索吧。

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