目录

一、基本概念

二、中缀表达式转后缀表达式

例       中缀表达式  2*(3+5)+7/1-4  转换为后缀表达式

三、后缀表达式的计算

例       后缀表达式  2 3 5 + * 7 1 / + 4 -  的计算

四、算法实现

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一、基本概念

1、中缀表达式：

操作符以中缀形式位于运算数中间（如：3+2），是我们日常通用的算术和逻辑公式表示方法。

2、后缀表达式：

又称逆波兰式（Reverse Polish Notation - RPN），操作符以后缀形式位于两个运算数后（如：3+2的后缀表达形式就是3 2 +）。

3、前缀表达式：

又称波兰式（Polish Notation），操作符以前缀形式位于两个运算数前（如：3+2的前缀表达形式就是+ 3 2）。

中缀表达式往往需要使用括号将操作符和对应的操作数括起来，用于指示运算的次序

e.g：5*(2+1) 虽然 * 的优先级高于 +  ，但括号的存在表示应优先执行括号内的 + 运算。

中缀表达式适合于人类的思维结构和运算习惯，但并不适用于计算机

尤其是包含括号的中缀表达式，对计算机而言是非常复杂的结构。

适用于计算机的后缀表达式

与中缀表达式不同，后缀表达式不需要使用括号来标识操作符的优先级。

后缀表达式的计算按 操作符 从左到右出现的顺序依次执行(不考虑运算符之间的优先级)，对于计算机而言是比较简单的结构。

二、中缀表达式转后缀表达式

从左至右依次遍历中缀表达式各个字符（需要准备一个字符栈存储操作符和括号）

1、字符为 运算数 ：

直接送入后缀表达式（注：需要先分析出完整的运算数）。

2、字符为 左括号 ：

直接入栈（注：左括号入栈后优先级降至最低）。

3、字符为 右括号 ：

直接出栈，并将出栈字符依次送入后缀表达式，直到栈顶字符为左括号（左括号也要出栈，但不送入后缀表达式）。

总结：只要满足 栈顶为左括号 即可进行最后一次出栈。

4、字符为 操作符 ：

若栈空，直接入栈。

若栈非空，判断栈顶操作符，若栈顶操作符优先级低于该操作符，该操作符入栈；否则一直出栈，并将出栈字符依次送入后缀表达式，直到栈空或栈顶操作符优先级低于该操作符，该操作符再入栈。

总结：只要满足 栈空 或者 优先级高于栈顶操作符 即可停止出栈，并将该操作符入栈。

5、重复以上步骤直至遍历完成中缀表达式，接着判断字符栈是否为空，非空则直接出栈，并将出栈字符依次送入后缀表达式。

注：中缀表达式遍历完成，栈中可能还有字符未输出，故需要判断栈空。

   例       中缀表达式  2*(3+5)+7/1-4  转换为后缀表达式

从左至右依次遍历中缀表达式各个字符：

第一个字符为运算数，直接输出：

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第二个字符为操作符，满足 栈空/优先级高于栈顶操作符 条件，该操作符入栈：

---

第三个字符为左括号，直接入栈（入栈后优先级降至最低）：

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第四个字符为运算数，直接输出：

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第五个字符为操作符，满足 栈空/优先级高于栈顶操作符 条件，该操作符入栈：

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第六个字符为运算数，直接输出：

---

第七个字符为右括号，直接出栈并输出，直到栈顶为左括号时进行最后一次出栈(不输出)：

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第八个字符为操作符，不满足 栈空/优先级高于栈顶操作符 条件，出栈直至满足条件

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第九个字符为运算数，直接输出：

---

第十个字符为操作符，满足 栈空/优先级高于栈顶操作符 条件，该操作符入栈：

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第十一个字符为运算数，直接输出：

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第十二个字符为操作符，不满足 栈空/优先级高于栈顶操作符 条件，出栈直至满足条件：

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第十三个字符为运算数，直接输出：

---

中缀表达式遍历完成，判断字符栈中是否还有操作符，如有则出栈并输出：

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转换完成：

三、后缀表达式的计算

从左至右依次遍历后缀表达式各个字符（需要准备一个运算数栈存储运算数和操作结果）

1、字符为 运算数 ：

直接入栈（注：需要先分析出完整的运算数并将其转换为对应的数据类型）

2、字符为 操作符 ：

连续出栈两次，使用出栈的两个数据进行相应计算，并将计算结果入栈

e.g：第一个出栈的运算数为 a ，第二个出栈的运算数为 b ，此时的操作符为 - ，则计算 b-a  （注：a和b顺序不能反），并将结果入栈。

3、重复以上步骤直至遍历完成后缀表达式，最后栈中的数据就是中缀表达式的计算结果。

例       后缀表达式  2 3 5 + * 7 1 / + 4 -  的计算

从左至右依次遍历后缀表达式各个字符：

第一个字符为运算数，直接入栈：

---

第二个字符为运算数，直接入栈：

---

第三个字符为运算数，直接入栈：

---

第四个字符为操作符，直接出栈两次：

---

继续出栈：

---

执行： 第二次出栈运算数    操作符    第一次出栈运算数 

即：3 + 5

结果：8

将计算结果入栈：

---

第五个字符为操作符，直接出栈两次：

---

执行： 第二次出栈运算数    操作符    第一次出栈运算数 

即：2 * 8

结果：16

将计算结果入栈：

---

第六个字符为运算数，直接入栈：

---

第七个字符为运算数，直接入栈：

---

第八个字符为操作符，直接出栈两次：

---

执行： 第二次出栈运算数    操作符    第一次出栈运算数 

即：7 / 1

结果：7

将计算结果入栈：

---

第九个字符为操作符，直接出栈两次：

---

执行： 第二次出栈运算数    操作符    第一次出栈运算数 

即：16 + 7

结果：23

将计算结果入栈：

---

第十个字符为运算数，直接入栈：

---

第十一个字符为操作符，直接出栈两次：

---

执行： 第二次出栈运算数    操作符    第一次出栈运算数 

即：23 - 4

结果：19

将计算结果入栈：

---

后缀表达式遍历完成，栈中数据即为最终计算结果：

四、算法实现

程序代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<malloc.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>#define ERROR 0
#define OK 1
#define STACK_INT_SIZE 10  /*存储空间初始分配量*/
#define STACKINCREMENT 5  /*存储空间分配增量*/
#define M 50typedef char ElemType; /*定义字符数据类型*/
typedef double ElemType2;  /*定义运算数数据类型*//*字符栈*/
typedef struct{ElemType *base;ElemType *top;int stacksize;
}SqStack;/*运算数栈*/
typedef struct{ElemType2 *base;ElemType2 *top;int stacksize;
}NStack;int InitStack(SqStack *S);   /*构造空栈*/
int push(SqStack *S,ElemType e); /*入栈*/
int Pop(SqStack *S,ElemType *e);  /*出栈*/
int StackEmpty(SqStack *s);  /*栈空判断*/
void in2post(ElemType *str,ElemType *p);  /*中缀表达式转后缀表达式*/
double cal_post(char *str);  /*计算后缀表达式*//*字符栈初始化*/
int InitStack(SqStack *S){S->base=(ElemType *)malloc(STACK_INT_SIZE * sizeof(ElemType));if(!S->base)return ERROR;  //分配失败S->top = S->base;S->stacksize = STACK_INT_SIZE;return OK;
}/*InitStack*//*运算数栈初始化*/
int InitStack_N(NStack *S){S->base=(ElemType2 *)malloc(STACK_INT_SIZE * sizeof(ElemType2));if(!S->base)return ERROR;S->top = S->base;S->stacksize = STACK_INT_SIZE;return OK;
}/*字符栈入栈*/
int Push(SqStack *S,ElemType e){//判断栈满if(S->top - S->base >= S->stacksize){S->base = (ElemType *)realloc(S->base,(S->stacksize + STACKINCREMENT)*sizeof(ElemType));if(NULL == S->base)  //分配失败return ERROR;S->top = S->base + S->stacksize;S->stacksize = S->stacksize+STACKINCREMENT;}*S->top = e;S->top++;return OK;
}/*运算数栈入栈*/
int Push_N(NStack *S,ElemType2 e){if(S->top - S->base >= S->stacksize){S->base = (ElemType2 *)realloc(S->base,(S->stacksize + STACKINCREMENT)*sizeof(ElemType2));if(NULL == S->base)return ERROR;S->top = S->base + S->stacksize;S->stacksize = S->stacksize+STACKINCREMENT;}*S->top = e;S->top++;return OK;
}/*字符栈出栈*/
int Pop(SqStack *S,ElemType *e){//判断栈空if(S->top == S->base)return ERROR;S->top--;*e=*S->top;return OK;
}/*Pop*//*运算数栈出栈*/
int Pop_N(NStack *S,ElemType2 *e){if(S->top == S->base)return ERROR;S->top--;*e=*S->top;return OK;
}/*判断栈空*/
int StackEmpty(SqStack *s){if(s->top == s->base)return OK;return ERROR;
}/*StackEmpty*///str为待转换的中缀表达式字符串,p为转换后的后缀表达式字符串
void in2post(ElemType *str,ElemType *p){   /*infix to postfix*/SqStack s;   InitStack(&s);   //初始化一个空字符栈ElemType e;int i;int j=0;for(i=0 ; i<strlen(str) ; i++)  //遍历中缀表达式{//遇到数字和小数点直接输出//使用循环完整接收一个运算数while(isdigit(str[i]) || '.'==str[i]){p[j++]=str[i++];if(!isdigit(str[i]) && '.'!=str[i])p[j++]=' ';   //一个数字完整输出后使用空格与其它运算符或数字分隔开}//遇到左括号直接入栈if('('==str[i])Push(&s,str[i]);//遇到右括号直接出栈，直到栈顶为左括号if(')'==str[i]){while('(' != *(s.top-1)){Pop(&s,&e);p[j++]=e;p[j++]=' ';}Pop(&s,&e);  //左括号出栈但不输出}//遇到+或—//1.栈空/栈顶为左括号:直接入栈//2.否则一直出栈,直到栈空/栈顶为左括号,再入栈if('+'==str[i] || '-'==str[i]){while(!StackEmpty(&s) && '('!=*(s.top-1)){Pop(&s,&e);p[j++]=e;p[j++]=' ';}Push(&s,str[i]);}//遇到*或///1.栈空/栈顶为左括号/栈顶操作符为+ or -:直接入栈//2.否则一直出栈,直到满足1,再入栈if('*'==str[i] || '/'==str[i] || '%'==str[i]){while(!StackEmpty(&s) && '('!=*(s.top-1) && '+'!=*(s.top-1) && '-'!=*(s.top-1)){Pop(&s,&e);p[j++]=e;p[j++]=' ';}Push(&s,str[i]);}}//中缀表达式遍历完成,还需检查栈中是否有未输出字符//判断栈空,非空则直接出栈并输出(左括号不用输出)while(!StackEmpty(&s)){Pop(&s,&e);if('('!=e)p[j++]=e;p[j++]=' ';}p[--j]='\0';
}/*infix2postfix*///str为待计算的后缀表达式,返回值为计算结果
double cal_post(char *str){   /*计算后缀表达式*/int i;ElemType2 e,a,b;char d[M];NStack n;InitStack_N(&n);   //初始化一个运算数栈保存运算数for(i=0;i<strlen(str);i++){int j=0;while(isdigit(str[i]) || '.'==str[i]){d[j++]=str[i++];d[j]='\0';if(!isdigit(str[i]) && '.'!=str[i]){e=atof(d);   //使用atof()将字符串形式的运算数转换为double型数据Push_N(&n,e);   //运算数入栈}}switch(str[i]){case '+':Pop_N(&n,&b);Pop_N(&n,&a);Push_N(&n,a+b);break;case '-':Pop_N(&n,&b);Pop_N(&n,&a);Push_N(&n,a-b);break;case '*':Pop_N(&n,&b);Pop_N(&n,&a);Push_N(&n,a*b);break;case '/':Pop_N(&n,&b);Pop_N(&n,&a);Push_N(&n,a/b);break;}}Pop_N(&n,&e);return e;
}/*calculate_postfix*/int main()
{char str[M];char post[M];int i;printf("\n输入一串中缀表达式：\n");gets(str);printf("\n对应的后缀表达式：\n");in2post(str,post);printf("%s",post);printf("\n\n计算后缀表达式：\n");printf("%f",cal_post(post));return 0;
}

运行结果：

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