TOPSIS法–优劣解距离法

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反应各评价方案之间的差距。
前面是根据例子来进行方法讲解，知识点在最后，想直接看知识点的同学可以直接翻到最后。

例子引入

小明寝室有4名同学，它们某一学期的高数成绩如下表所示：

姓名	成绩
小明	89
小王	60
小李	74
小张	99

请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。
方法一：
既然这里得到了成绩，我们就可以进行一个排名：

姓名	成绩	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	3/10=0.3
小王	60	4	1	1/10=0.1
小李	74	3	2	2/10=0.2
小张	99	1	4	4/10=0.4

因为排名的数字越小越好，但是评分越高越好，所以我们进行排名修正后进行归一化的到评分。
但是这里有一个弊端，就是成绩可以随意修改而的分不变，这样得到的评分就和成绩的关联性不密切，无法客观进行评价。所以方法需要改进。
方法二：
在表中可以得到：
最高成绩max：99，最低成绩min：60，由此我们可以构造计算评分的公式：
x−minmax−min\frac{x-min}{max-min}max−minx−min

姓名	成绩	未归一化的评分	归一化的评分
小明	89	(89-60)/(99-60)=0.74	0.74/2.1=0.35
小王	60	(60-60)/(99-60)=0	0/0.21=0
小李	74	(74-60)/(99-60)=0.36	0.36/0.21=0.17
小张	99	(99-60)/(99-60)=1	1/2.1=0.48

方法三：
在上面大家可能会想为什么不用卷面最高成绩100，和卷面最低成绩0呢？
x−0100−0\frac{x-0}{100-0}100−0x−0

姓名	成绩	未归一化的评分	归一化的评分
小明	89	0.89	0.28
小王	60	0.60	0.19
小李	74	0.74	0.23
小张	99	0.99	0.30

这样的话得出的评分会与成绩的关系性更强，但是相比于方法二有哪些不同呢？
① 方法二中最后一名的评分是0，第一名的评分是1，但是中间的数值没有太大影响，在实际操作时，比较的对象一般远大于两个，所以影响并不大。
② 比较的指标也不往往是一个方面，好比小王得了60分，第二种的评分是0，但是加入其他指标之后小王可能不再是最后一名，评分也就不再会是0。
③ 我认为是最重要的一点，很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速，在遇到这种没有理论最大值的指标时，我们无法使用其上下限来进行计算，也就是无法使用方法三。
所以我们得到构造计算评分的公式为：
x−minmax−min\frac{x-min}{max-min}max−minx−min

对于多个指标的处理方法

下面开始多个指标的处理，如下表所示，我们应该怎样进行评分和排名呢？

姓名	成绩	逃课次数
小明	89	2
小王	60	0
小李	74	1
小张	99	3

一、正向化处理

姓名	成绩	逃课次数
小明	89	2
小王	60	0
小李	74	1
小张	99	3

成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）
逃课次数是越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）
指标正向化：在使用计算评分公式时需要将所有的指标转化为极大型指标。极小型指标转化为极大型指标的公式：
max−xmax-xmax−x

姓名	成绩	逃课次数	正向化后的逃课次数
小明	89	2	1
小王	60	0	3
小李	74	1	2
小张	99	3	0
指标类型	极大型	极小型	极大型

二、标准化处理

经正向化的到的表格还是不能直接使用，因为有量纲的影响。为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理

姓名	成绩	正向化后的逃课次数
小明	89	1
小王	60	3
小李	74	2
小张	99	0
指标类型	极大型	极大型

标准化处理计算公式

假设有n个要评价的对象，m个指标（已正向化），构成的正向化矩阵如下：
X=[x11x12⋯x1mx21x22⋯x2m⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnm]X= \left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \\ \end{matrix} \right] X=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm⎦⎥⎥⎥⎤
那么，对其标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
zij=xij∑i=1nxij2z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}}zij=∑i=1nxij2xij

按照公式对我们已经得出的矩阵进行标准化变换
[891603742990]\left[ \begin{matrix} 89 & 1 \\ 60 & 3\\ 74& 2\\ 99&0 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡896074991320⎦⎥⎥⎤
标准化之后得到的矩阵为：
[0.54370.26730.36650.80180.45200.53450.60480]\left[ \begin{matrix} 0.5437 & 0.2673 \\ 0.3665 & 0.8018\\ 0.4520& 0.5345\\ 0.6048&0 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡0.54370.36650.45200.60480.26730.80180.53450⎦⎥⎥⎤

三、计算得分

当我们只有一个指标时计算评分的公式已经给出，我们对其变形，并推测其在多个指标时的公式
x−minmax−min=x−max(max−x)+(x−min)\frac{x-min}{max-min}=\frac{x-max}{(max-x)+(x-min)} max−minx−min=(max−x)+(x−min)x−max
可以看作：x与最小值的距离x与最大值的距离+x与最小值的距离可以看作：\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离} 可以看作：x与最大值的距离+x与最小值的距离x与最小值的距离
下面我们开始定义最大值、最小值、对象与最大值、最小值之间的距离
对于标准化后的矩阵Z有：
Z=[z11z12⋯z1mz21z22⋯z2m⋮⋮⋱⋮zn1zn2⋯znm]Z= \left[ \begin{matrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots & z_{nm} \\ \end{matrix} \right] Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤

定义最大值：Z+=(Z1+,Z2+,...,Zm+)Z^+=(Z_1^+,Z_2^+,...,Z_m^+)Z+=(Z1+,Z2+,...,Zm+)
定义最小值：Z−=(Z1−,Z2−,...,Zm−)Z^-=(Z_1^-,Z_2^-,...,Z_m^-)Z−=(Z1−,Z2−,...,Zm−)

定义第i（i=1，2，…，n）个评价对象与最大值的距离为：
Di+=∑j=1m(ZJ+−zij)2D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_J^+-z_{ij})^2} Di+=j=1∑m(ZJ+−zij)2
定义第i（i=1，2，…，n）个评价对象与最小值的距离为：
Di−=∑j=1m(ZJ−−zij)2D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_J^--z_{ij})^2} Di−=j=1∑m(ZJ−−zij)2
那么，我们就可以计算出第i（i=1，2，…，n）个评价对象未归一化的得分：
Si=Di−Di++Di−S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-} Si=Di++Di−Di−
很明显，0≤Si≤1，且Si越大Di+越小，即越接近最大值。0\leq S_i\leq 1，且S_i越大D_i^+越小，即越接近最大值。0≤Si≤1，且Si越大Di+越小，即越接近最大值。

下面我们根据上面的公式进行评分和排名

姓名	成绩	正向化后的争吵次数
小明	0.5437	0.2673
小王	0.3665	0.8018
小李	0.4520	0.5345
小张	0.6048	0

得到最大值：[0.6048,0.8018]，最小值[0.3665,0]
开始计算距离：
D小明+=(0.6048−0.5437)2+(0.8018−0.2673)2=0.5380D_{小明}^+=\sqrt{(0.6048-0.5437)^2+(0.8018-0.2673)^2}=0.5380D小明+=(0.6048−0.5437)2+(0.8018−0.2673)2=0.5380
D小明−=(0.3665−0.5437)2+(0−0.2673)2=0.3206D_{小明}^-=\sqrt{(0.3665-0.5437)^2+(0-0.2673)^2}=0.3206D小明−=(0.3665−0.5437)2+(0−0.2673)2=0.3206
D小王+=(0.6048−0.3665)2+(0.8018−0.8018)2=0.2382D_{小王}^+=\sqrt{(0.6048-0.3665)^2+(0.8018-0.8018)^2}=0.2382D小王+=(0.6048−0.3665)2+(0.8018−0.8018)2=0.2382
D小王−=(0.3665−0.3665)2+(0−0.8018)2=0.8018D_{小王}^-=\sqrt{(0.3665-0.3665)^2+(0-0.8018)^2}=0.8018D小王−=(0.3665−0.3665)2+(0−0.8018)2=0.8018

经计算后得到了每个同学的评分和排名：

姓名	D⁺	D^-	未归一化的得分	归一化后的得分	排名
小明	0.5380	0.3206	0.3734	0.1857	3
小王	0.2382	0.8018	0.7709	0.3834	1
小李	0.3078	0.5413	0.6375	0.3170	2
小张	0.8108	0.2382	0.2291	0.1139	4

TOPSIS方法总结

第一步：将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益性）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物料

极小型指标转换为极大型指标的公式：max−x极小型指标转换为极大型指标的公式：max-x极小型指标转换为极大型指标的公式：max−x
中间型指标转换为极大型指标
有{x_i}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为x_best，那么正向化的公式如下：
M=max∣xi−xbest∣,xi∗=1−∣xi−xbest∣MM=max{|x_i-x_{best}|} , x_i^*=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M} M=max∣xi−xbest∣,xi∗=1−M∣xi−xbest∣
区间型指标转换为极大型指标
有{x_i}是一组中间型指标序列，且最佳的区间为[a,b],那么正向化的公式如下：

M=max{a-min{x_i},max{x_i}-b}

Xi∗={1−a−xMx<a1a≤x≤b1−x−bMx>bX^{*}_i=\left\{ \begin{array}{rcl} 1-\frac{a-x}{M} & & {x < a}\\ 1 & & {a \leq x \leq b}\\ 1-\frac{x-b}{M} & & {x>b} \end{array} \right. Xi∗=⎩⎨⎧1−Ma−x11−Mx−bx<aa≤x≤bx>b

第二步：将正向化矩阵标准化

矩阵标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
假设有n个要评价的对象，m个指标（已正向化），构成的正向化矩阵如下：
X=[x11x12⋯x1mx21x22⋯x2m⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnm]X= \left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \\ \end{matrix} \right] X=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm⎦⎥⎥⎥⎤
那么，对其标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
zij=xij∑i=1nxij2z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}}zij=∑i=1nxij2xij

第三步：计算并归一化

对于标准化后的矩阵Z有：
Z=[z11z12⋯z1mz21z22⋯z2m⋮⋮⋱⋮zn1zn2⋯znm]Z= \left[ \begin{matrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots & z_{nm} \\ \end{matrix} \right] Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤