空间中两随机向量间夹角的概率密度分布（越高维，越趋向于正交）

设空间维数为n, 则此空间中任意两个向量之间的夹角 θ 服从一定的分布, 其概率密度函数如下：

对二维平面, n=2,p(θ)=1/π，

对三维空间, n=3,p(θ)=1/2*sinθ

对于我们熟悉的二维平面与三维空间, 证明很简单. 对于更高维的空间, 我们已经很难想象, 可借助于n维球体的表面积公式加以证明.

对n维球体, 设半径为R, 则其体积，相应的n-1维球面的表面积

下面是二至十维和二至一百维空间的 p(θ)：

二至十维 ↑

二至一百维 ↑

可以看出, 任意两向量正交（即互相垂直）的概率最大, 而且此概率随空间维数的增大而增大.

对我们熟悉的三维空间, p(θ)=1/2 sin⁡θ 稍有特殊:

θ 满足此分布时, cos⁡θ 符从均匀分布.

说明如下：

若已知变量 xx 服从分布 p(x), 变量 y=y(x), 根据概率的基本变换定律, 即变换前后出现的概率不变

则变量 y=y(x) 服从分布

由此, 可推知任意分布相应的均匀分布变换：对分布 p(x)=1/2 sinθ, y=(1−cosθ)/2 为[0,1]上的均匀分布, 恰好对应于 θ 的范围 [0,π].

当讨论两向量夹角的分布时, 可以使用 y 作图, 扣除 θ 的非均匀分布带来的影响.

对 cosθ的任意函数 f(cosθ), 其平均值

知道这一点, 在求与 cos(θ)cos⁡(θ) 有关的平均值时就简单了许多. 如半径为R的球面上任意两点之间距离 r=2–√R(1−cosθ), 其平均值 〈r〉=4/3R. 而 〈r2〉=R^2.

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