总体与样本

总体：研究对象的全体
个体：组成总体的成员
样本：从总体中抽出的部分个体
样本容量：样本中样品个数

定义:
设X是具有分布函数F(x)的随机变量，若X1，X2……Xn是具有同一分布函数F（x)的相互独立的随机变量，称X1……Xn是来自总体X中的容量为n的简单随机样本，简称为样本
X1……Xn是一次实现x1……xn为样本观察值

经验分布函数
x1……xn是来自总体分布函数F(x)的样本
记Ii(x)={1xi≤x0xi>xI_i(x)=\left\{ \begin{aligned} 1& &x_i ≤x \\ 0& & x_i>x\\ \end{aligned} \right.Ii(x)={10xi≤xxi>x
称函数Fn(x)=1n∑i=1nIi(x)F_n(x)=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}I_i(x)Fn(x)=n1i=1∑nIi(x)是经验分布函数

统计量

X1……Xn是取自某总体的样本，若样本函数T=T(X1……Xn）不含未知参数，称T是统计量
若x1……xn是样本观测值，称T(x1……xn）是T的样本值

样本均值 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_iX=n1∑i=1nXi
样本方差 S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline{X})^2S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2
样本标准差 S=S2S = \sqrt{S^2}S=S2
r阶原点矩Ar=1n∑i=1nXirA_r=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X^r_iAr=n1∑i=1nXir
r阶中心矩Br=1n∑i=1n(Xi−X‾)rB_r=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline{X})^rBr=n1∑i=1n(Xi−X)r

统计量的分布称为抽样分布

抽样分布

卡方分布

设随机变量X1……XnX_1……X_nX1……Xn独立同分布且服从标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1)，称随机变量χ2=∑i=1nXi2\chi^2=\sum^n_{i=1}X_i^2χ2=∑i=1nXi2服从自由度为n的χ2\chi^2χ2分布
记为χ2∼χ2(n)\chi^2\sim\chi^2(n)χ2∼χ2(n)

不难发现Eχ2=nVarχ2=2nE\chi^2=n \quad Var\chi^2=2nEχ2=nVarχ2=2n

定理
设随机变量X1……XnX_1……X_nX1……Xn独立同分布且服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)，
有∑i=1n(Xi−μσ)2∼χ2(n)\sum^n_{i=1}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2\sim\chi^2(n)i=1∑n(σXi−μ)2∼χ2(n)

t分布

X∼N(0,1)Y∼χ2(n)X\sim N(0,1)\quad Y\sim\chi^2(n)X∼N(0,1)Y∼χ2(n)且X和Y相互独立
T=XY/n∼t(n)T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) T=Y/nX∼t(n)

T∼t(n)T\sim t(n)T∼t(n),若n≤1n\le 1n≤1 期望ET不存在，若n>1 ET=0
T∼t(n)T\sim t(n)T∼t(n),n>1n>1n>1
E∣T∣k<∞,k<nE∣T∣k=∞,k≥nE|T|^k < \infty,k<n\\E|T|^k =\infty, k\ge nE∣T∣k<∞,k<nE∣T∣k=∞,k≥n
T∼t(n)T\sim t(n)T∼t(n),n>2n>2n>2,VarT=nn−2VarT=\frac{n}{n-2}VarT=n−2n
t(1)为柯西分布
n充分大可以用N(0,1)近似

F分布

X∼χ2(n)Y∼χ2(m)F=X/nY/m∼F(n,m)X\sim \chi^2(n)\quad Y\sim\chi^2(m)\quad F=\frac{X/n}{Y/m}\sim F(n,m)X∼χ2(n)Y∼χ2(m)F=Y/mX/n∼F(n,m)

不难发现

X∼t(n)X2∼F(1,n)X\sim t(n)\quad X^2\sim F(1,n)X∼t(n)X2∼F(1,n)
F∼F(n,m)1/F∼F(m,n)F\sim F(n,m)\quad 1/F\sim F(m,n)F∼F(n,m)1/F∼F(m,n)
Fα(n,m)F1−α(n,m)=1F_\alpha(n,m)F_{1-\alpha}(n,m)=1Fα(n,m)F1−α(n,m)=1

正态分布下的抽样总分步

Fisher定理

X1……XnX_1……X_nX1……Xn独立同分布且服从标准正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)
X‾和S2\overline{X}和S^2X和S2是样本均值和样本方差且相互独立

X‾∼N(μ,σ2n)\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})X∼N(μ,nσ2)(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)X‾−μSn∼t(n−1)\frac{\overline{X}-\mu}{S}\sqrt{n}\sim t(n-1)SX−μn∼t(n−1)

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