题意

有n个位置，每个位置上的数是1到n中的任意一个，显然总的方案有nnnnn^n种。对于每一种方案，定义其价值为w[max(a[1..k])]∗w[max(a[2..k+1])]∗...∗w[max(a[n−k+1,n])]w[max(a[1..k])]∗w[max(a[2..k+1])]∗...∗w[max(a[n−k+1,n])]w[max(a[1..k])]*w[max(a[2..k+1])]*...*w[max(a[n-k+1,n])]。现在给定n,kn,kn,k和w[1..n]w[1..n]w[1..n]，求所有方案的价值和。
k≤n≤400k≤n≤400k\le n\le400

分析

设f[x,y]f[x,y]f[x,y]表示长度为xxx的序列中，最大值不超过y" role="presentation" style="position: relative;">yyy的所有填数方案的价值和。
一种填法是不填yyy，那么f[x,y]=f[x,y−1]" role="presentation" style="position: relative;">f[x,y]=f[x,y−1]f[x,y]=f[x,y−1]f[x,y]=f[x,y-1]。
否则我们可以枚举第一个yyy填哪里，设为位置i" role="presentation" style="position: relative;">iii
那么f[x,y]=f[i−1,y−1]∗f[x−i,y]∗w[y]有多少个长度为k的区间包含位置if[x,y]=f[i−1,y−1]∗f[x−i,y]∗w[y]有多少个长度为k的区间包含位置if[x,y]=f[i-1,y-1]*f[x-i,y]*w[y]^{有多少个长度为k的区间包含位置i}
用记忆化搜索来实现即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>typedef long long LL;const int N=405;
const int MOD=998244353;int n,k,w[N][N],f[N][N];int ksm(int x,int y)
{int ans=1;while (y){if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;}return ans;
}int dp(int x,int y)
{if (!x) return 1;if (x<k) return ksm(y,x);if (!y) return 0;if (f[x][y]) return f[x][y];f[x][y]=dp(x,y-1);for (int i=1;i<=x;i++){int l=std::max(1,i-k+1),r=std::min(x,i+k-1)-k+1;(f[x][y]+=(LL)w[y][r-l+1]*dp(i-1,y-1)%MOD*dp(x-i,y)%MOD)%=MOD;}return f[x][y];
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i][1]);for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=2;j<=n;j++)w[i][j]=(LL)w[i][j-1]*w[i][1]%MOD;printf("%d",dp(n,n));return 0;
}

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uoj #311.【UNR #2】积劳成疾 dp

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