中值定理证明题解题思路

对于只有一个未知量的，通常是把未知量替换为x。令等式一边为0，然后把另一边当作F'(x)，然后找原函数。在写解题过程时，不写如何求得F(x)的，直接设F(x)，然后证明F(x)符合某一种中值定理。

例1：f(x)，g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，g'(x)不等于0，证明

把式子中未知量替换为x得到

所以求得F(x)=f(a)g(x)+f(x)g(b)-f(x)g(x)

解：设F(x)=f(a)g(x)+f(x)g(b)-f(x)g(x)，当x=a或b时，F(x)=f(a)g(b)。则根据中值定理可知，存在ξ属于(a,b)使得F'(x)等于0，又g'(x)不等于0，所以可以求得原式

有时，想要找出原函数，还有加上一个再减去一个项

例2：f(x)和g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，f(a)=g(b)=0，g'(x)<0。证明存在ξ属于(a,b)使得

根据思路，代入x后得到

这个等式左边当作F'(x)，很难求出原函数，但以左边那一项为例，把他当作f(x)的导数乘以一个积分，则可以把它看作是左导右不导，加上左不导右导的那一项即可获得原函数。同样，右边的项也可以做相同处理，而且左右两项所要相加的刚好为相反数，则式子可以化为

原函数为

解：设

则F(a)=F(b)=0，根据罗尔中值定理可以得到

又因为g(b)=0，g'(x)<0，所以在(a,b)上，g(x)>0，所以式子可以化为

但这只是一般情况，有的时候，要利用柯西中值定理，此时要找到两个辅助函数

例3：f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且f(x)!=0，证明，存在ξ属于(1,2)使得

解：令h(x)=lnx

则根据柯西中值定理可得到原式

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