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回归分析是一种广泛使用的统计工具，利用已有的实验数据，通过一个方程来定量的描述变量之间的关系，其中的变量可以分为两类

1. 自变量，也称之为预测变量

2. 因变量，也称之为响应变量

自变量可以有多个，而因变量只有一个，回归的本质就是构建因变量和自变量之间的方程。回归分析有两个经典的用法，第一个就是建模预测，通过构建的回归方程来对新的数据集进行预测，第二个就是用于定量描述变量间的相关性，在GWAS中，就是利用了回归分析的这一用法，本文首先来看下线性回归。

顾名思义，线性回归用线性方程来描述变量之间的关系，根据自变量的个数，又可以划分为一元线性回归和多元线性回归。这里的一元和多元指的就是自变量的个数。以一元线性回归为例，其方程如下

y = ax + b + c

其中x是自变量，y是因变量，a称之为回归系数，b称之为回归常数. c称之为误差，也叫做残差，a和b合称为回归参数，线性回归的目的就是求解回归参数。以探讨身高和体重间的线性关系为例，数据如下

其分布如下所示

从图上可以直观的感觉到，二者是一个线性关系，线性回归的本质就是根据实际的数据来拟合出一条最佳的直线，这里的最佳非常的重要，对于相同的数据，可以拟合出多条直线，示意如下

图中两条直线的效果看着差不多，那么如何来定量的比较不同直线的拟合效果，从而选择最优的呢？

通常有两种方法，第一种称之为最小二乘法，利用实际值和拟合值之间的差值，也就是残差值来构建衡量拟合效果的统计量，图示如下

图中的散点是实际观测值，直线上为拟合值，实际观测值和拟合值之间的线段代表的就是残差。对应的统计量为残差平方和，英文如下

residual sum of squares (RSS)
sum of squared estimate of errors (SSE)
sum of squared residuals (SSR)

计算公式如下

可以看做是一个欧式距离的求解，最小二乘法将残差平方和最小的直线作为最佳直线。第二种称之为最大似然法，似然其实就是概率，对于拟合出的直线，计算实际观测值出现的概率，将这个概率值作为拟合效果的标记量，概率最大的直线就认为拟合效果最佳。

其中，最小二乘法可以看做是最大似然的一个特例，可以由最大似然推导出来，在简单的线性回归中，最小二乘法应用广泛。以R语言为例，进行一元线性回归的代码如下

其中intercept称之为截距，对应回归方程中的回归常数，对于height这个自变量，其回归系数为0.6746。这里我们直接得到了最终的回归参数，其实在这里还有很多的细节，通过summary可以进行查看

第一个是残差的分布情况，用五个数字来表示，分别是最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值。在R中，可以通过quantile这个函数来进行计算

第二个是对回归参数的检验，通过t检验来分析回归方程中每个变量和因变量之间的相关性，对应Pr(>|t|)的部分, p值小于0.01认为是相关的。

第三个残差标准误，residual standard error,  标准误是衡量总体离散程度的统计量，计算公式如下

残差平方和除以自由度再开根号即可得到残差标准误，所以最佳的拟合直线其对应的残差标准误的值应该也是最小的。

第四个是R2，R-squared, 计算公式如下

SST是实际观测值的方差，SSR是拟合值的方差，R2为拟合值的方差占实际观测值方差的比例，取值范围为0-1。R2也称之为拟合优度，数值越接近1，说明拟合效果越好。对于一个回归方程的解而言，其差标准误和R2值是确定的，对于最佳的拟合直线而言，其残差标准误一定是最小，R2值一定是最大。

R2除了表征拟合效果外，还有一个用途，那就是表征自变量和因变量相关性的大小，只适用于一元线性回归，此时R2的值为自变量x和因变量y的相关系数的平方，所以在单位点的关联分析中，可以根据R2的值筛选相关性强的位点。

这里还有一个校正之后的R2, 计算公式如下

最后一个是整体方程的显著性检验，通过F检验来判断显著性。在GWAS中，利用线性回归可以分析SNP位点和连续型的表型性状之间的关联，利用pvalue来确定显著关联的位点，进一步可以根据R2来筛选关联性强的snp位点。

·end·

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