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第第五五章章 MATLAB MATLAB MATLAB MATLAB在自动控制原理的应用在自动控制原理的应用 5 5 5 5 1 1 1 1 控制系统控制系统的传递函数的传递函数模型模型 5 5 5 5 2 2 2 2 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 5 5 5 5 3 3 3 3 控制系统的根轨迹控制系统的根轨迹 5 5 5 5 4 4 4 4 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 5 5 5 5 5 5 5 5 系统的状态空间分析函数系统的状态空间分析函数 5 5 5 5 6 6 6 6 极点配置和观测器设置极点配置和观测器设置 5 5 5 5 7 7 7 7 最优控制系统设计最优控制系统设计 第五章 控制系统的数学描述与建模 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的 地位 要对系统进行仿真处理 首先应当知道系统的数学 模型 然后才可以对系统进行模拟 同样 如果知道了系 统的模型 才可以在此基础上设计一个合适的控制器 使 得系统响应达到预期的效果 从而符合工程实际的需要 在线性系统理论中 一般常用的数学模型形式有 传 递函数模型 系统的外部模型 状态方程模型 系统 的内部模型 零极点增益模型和部分分式模型等 这 些模型之间都有着内在的联系 可以相互进行转换 按系统性能分 线性系统和非线性系统 连续系统 和离散系统 定常系统和时变系统 确定系统和不 确定系统 1 线性连续系统 用线性微分方程式来描述 如果 微分方程的系数为常数 则为定常系统 如果系数 随时间而变化 则为时变系统 我们所讨论的系统 主要以线性定常连续系统为主 2 线性定常离散系统 离散系统指系统的某处或多 处的信号为脉冲序列或数码形式 这类系统用差分 方程来描述 3 非线性系统 系统中有一个元部件的输入输出特 性为非线性的系统 微分方程是控制系统模型的基础 一般来讲 利 用机械学 电学 力学等物理规律 便可以得到 控制系统的动态方程 这些方程对于线性定常连 续系统而言是一种常系数的线性微分方程 如果已知输入量及变量的初始条件 对微分方程 进行求解 就可以得到系统输出量的表达式 并 由此对系统进行性能分析 通过拉氏变换和反变换 可以得到线性定常系统 的解析解 这种方法通常只适用于常系数的线性 微分方程 解析解是精确的 然而通常寻找解析 解是困难的 MATLAB提供了ode23 ode45等微 分方程的数值解法函数 不仅适用于线性定常系 统 也适用于非线性及时变系统 5 1 控制系统的传递函数模型 对线性定常系统 式中s的系数均为常数 且 a1不等于零 这时系统在MATLAB中可以方便 地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确 定出来 这两个向量分别用num和den表示 num b1 b2 bm bm 1 den a1 a2 an an 1 注意 它们都是按s的降幂进行排列的 1 1 21 1 1 21 nn nn mn mm asasasa bsbsbsb sR sC sG 一 连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式 其原理是分别对原系统传递函数的分子 分母进行分解 因式处理 以获得系统的零点和极点的表示形式 21 21 n m pspsps zszszs KsG 在MATLAB中零极点增益模型用 z p K 矢量组表示 即 z z1 z2 zm p p1 p2 pn K k 函数tf2zp 可以用来求传递函数的零极点和增益 二 零极点增益模型 K为系统增益 zi为零点 pj为极点 控制系统常用到并联系统 这时就要对系统函 数进行分解 使其表现为一些基本控制单元的 和的形式 函数 r p k residue b a 对两个多项式的比进行 部分展开 以及把传函分解为微分单元的形式 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数 部 分分式展开后 余数返回到向量r 极点返回到 列向量p 常数项返回到k b a residue r p k 可以将部分分式转化为多项 式比p s q s 三 部分分式展开 举例 传递函数描述 1 num 12 24 0 20 den 2 4 6 2 2 2 借助多项式乘法函数conv来处理 num 4 conv 1 2 conv 1 6 6 1 6 6 den conv 1 0 conv 1 1 conv 1 1 conv 1 1 1 3 2 5 22642 202412 234 23 ssss ss sG 523 1 66 2 4 233 22 sssss sss sG 零极点增益模型 num 1 11 30 0 den 1 9 45 87 50 z p k tf2zp num den 5087459 3011 234 23 ssss sss sG 43 43 2 1 5 6 jsjsss sss sG z 0 6 5 p 3 0000 4 0000i 3 0000 4 0000i 2 0000 1 0000 k 1 结果表达式 部分分式展开 num 2 0 9 1 den 1 1 4 4 r p k residue num den 44 192 23 3 sss ss sG 1 2 2 25 0 2 25 0 2 sis i is i sG p 0 0000 2 0000i 0 0000 2 0000i 1 0000 k 2 r 0 0000 0 2500i 0 0000 0 2500i 2 0000 结果表达式 P146 例10 1 10 2 10 3 自动控制原理教材 P131 例3 16 1 1 1 1 控制系统的模型及转换 控制系统的模型及转换 线性控制系统是一般线性系统的子系统 在 MATLAB中 对自动控制系统的描述采用三种模型 状态空间模型 ss 传递函数模型 tf 以及零极点增益 模型 zpk 模型转换函数 ss2tf ss2zp tf2ss tf2zp zp2ss和zp2tf 在MATLAB的Control System Toolbox 控制系统工 具箱 中提供了许多仿真函数与模块 用于对控制系统 的仿真和分析 控制系统的描述与控制系统的描述与LTILTILTILTI对象对象 2 2 2 2 LTILTILTILTI对象对象 为了对系统的调用和计算带来方便 根据软件 工程中面向对象的思想 MATLAB通过建立专用的 数据结构类型 把线性时不变系统 LTI 的各种模型 封装成为统一的LTI对象 MATLAB控制系统工具箱中规定的LTI对象包 含了三种子对象 ssssssss对象 对象 tf tf tf tf对象和对象和zpkzpkzpkzpk对象对象 每 个对象都具有其属性和方法 通过对象方法可以存 取或者设置对象的属性值 属性说明属性说明 1 当系统为离散系统时 给出了系统的采样周期 Ts Ts 0或缺省时表示系统为连续时间系统 Ts 1表示系 统是离散系统 但它的采样周期未定 2 输入时延Td仅对连续时间系统有效 其值为由每个 输入通道的输入时延组成的时延数组 缺省表示无输入时延 3 输入变量名InputName和输出变量名OutputName允 许用户定义系统输入输出的名称 其值为一字符串单元数 组 分别与输入输出有相同的维数 可缺省 4 Notes和用户数据Userdata用以存储模型的其它信 息 常用于给出描述模型的文本信息 也可以包含用户需要 的任意其它数据 可缺省 字符串单元向量状态变量名 StateNam e 二维矩阵系数矩阵e 二维矩阵系数矩阵d 二维矩阵系数矩阵c 二维矩阵系数矩阵b 二维矩阵系数矩阵a ssssssss对象对象 状态空间状态空间 由行数组组成的单元阵列零点z s z p k z 1中之一零极点增益模型变量variable 由行数组组成的单元阵列极点p 二维矩阵增益k zpkzpkzpkzpk对象对象 零极点增益零极点增益 s z p k z 1中之一传递函数变量variable 由行数组组成的单元阵列传递函数分子系数num 由行数组组成的单元阵列传递函数分母系数den tf tf tf tf对象对象 传递函数传递函数 属性值的变量类型属性值的变量类型属性值的变量类型属性值的变量类型意意意意 义义义义属性名称属性名称属性名称属性名称 对象名称对象名称对象名称对象名称 LTI模型的建立及转换函数 在MATLAB的控制系统工具箱中 各种LTI对象模型的 生成和模型间的转换都可以通过一个相应函数来实现 生成 或将其它模型转换为 零极点增益模型zpk z p k zpk z p k zpk z p k zpk z p k 生成 或将其它模型转换为 传递函数模型tf num den tf num den tf num den tf num den 生成 或将其它模型转换为 状态空间模型ss a b c d ss a b c d ss a b c d ss a b c d 生成 或将其它模型转换为 DSP形式的离散传递函数filt num den filt num den filt num den filt num den 生成 或将其它模型转换为 描述状态空间模型dss a b c d dss a b c d dss a b c d dss a b c d 功功功功 能能能能函数名称及基本格式函数名称及基本格式函数名称及基本格式函数名称及基本格式 表表 生成LTI模型的函数 例例5 4 5 4 5 4 5 4 生成离散系统的零极点模型 生成离散系统的零极点模型 MATLAB源程序为 z 0 5 z 0 5 z 0 5 z 0 5 p 0 3 0 1 2i 0 2 2i p 0 3 0 1 2i 0 2 2i p 0 3 0 1 2i 0 2 2i p 0 3 0 1 2i 0 2 2i k 2 3 k 2 3 k 2 3 k 2 3 s6 zpk z p k 1 s6 zpk z p k 1 s6 zpk z p k 1 s6 zpk z p k 1 运行结果为 运行结果为 Zero pole gain from input 1 to output 从第从第1 1 1 1输入端口至输入端口至 输出的零极点增益输出的零极点增益 2 z 0 3 Zero pole gain from input 2 to output 从第从第2 2 2 2输入端口至输入端口至 输出的零极点增益输出的零极点增益 3 z 0 5 z 0 1 2i z 0 2 2i Sampling time unspecified 表明该系统为双输入单输出的离散系统 P150 例10 5 10 6 10 7 LTILTILTILTI对象属性的设置与转换对象属性的设置与转换对象属性的设置与转换对象属性的设置与转换 1 1 1 1 LTILTILTILTI对象属性的获取与设置对象属性的获取与设置 模型类型的检测classclassclassclass 获得变换后的零极点增益模型参数zpkdata sys zpkdata sys zpkdata sys zpkdata sys 获得变换后的传递函数模型参数tfdata sys tfdata sys tfdata sys tfdata sys 获得变换后的状态空间模型参数ssdata dssdata sys ssdata dssdata sys ssdata dssdata sys ssdata dssdata sys 设置和修改LTI对象的属性set sys set sys set sys set sys PropertyNamePropertyNamePropertyNamePropertyName 数值数值 获得LTI对象的属性get sys get sys get sys get sys PropertyNamePropertyNamePropertyNamePropertyName 数值数值 功 能函数名称及基本格式 表表 对象属性的获取和修改函数对象属性的获取和修改函数 2 2 2 2 LTILTILTILTI模型的转换函数模型的转换函数 表表 模型检测函数 返回系统sys的维数size sys size sys size sys size sys 判断LTI对象sys是否为SISO系统 若是 返回1 否则返 回0 issiso sys issiso sys issiso sys issiso sys 判断LTI对象sys是否为特定类型对象 若是 返回1 否 则返回0 isproperisproperisproperisproper 判断LTI对象sys是否为空 若是 返回1 否则返回0isempty sys isempty sys isempty sys isempty sys 判断LTI对象sys是否为离散时间系统 若是 返回1 否 则返回0 isdt sys isdt sys isdt sys isdt sys 判断LTI对象sys是否为连续时间系统 若是 返回1 否 则返回0 isct sys isct sys isct sys isct sys 功 能功 能功 能功 能函数名及函数名及函数名及函数名及 调用格式调用格式调用格式调用格式 典型系统的生成典型系统的生成典型系统的生成典型系统的生成 1 1 1 1 随机生成 随机生成N N N N阶稳定的连续状态空间模型函数阶稳定的连续状态空间模型函数rss rss rss rss 格式 格式 sys rss N P M sys rss N P M sys rss N P M sys rss N P M 功能 随机生成N阶稳定的连续状态空间模型 该 系统具有M个输入 P个输出 缺省是P M 1 即 sys rss N 2 2 2 2 随机生成随机生成N N N N阶稳定的连续线性模型系数函数阶稳定的连续线性模型系数函数 rmodel rmodel rmodel rmodel 格式 格式 num den rmodel N P num den rmodel N P num den rmodel N P num den rmodel N P 功能 生成一个N阶连续的传递函数模型系统 该系统具有P个输出 3 3 3 3 离散时间 离散时间N N N N阶稳定随机系统生成函数阶稳定随机系统生成函数drss drss drss drss 和和 drmodel drmodel drmodel drmodel drss和drmodel函数的用法与rss和rmodel函数的用法 相仿 不同点仅仅在于它生成的是离散系统 4 4 4 4 二阶系统生成函数 二阶系统生成函数ord2ord2ord2ord2 格式 格式 A B C D ord2 Wn Z A B C D ord2 Wn Z A B C D ord2 Wn Z A B C D ord2 Wn Z 功能 生成固有频率为Wn 阻尼系数为Z的连续二阶 的状态空间模型系统 5 5 5 5 系统时间延迟的 系统时间延迟的PadePadePadePade近似函数近似函数pade pade pade pade 格式 格式 sysx pade sys N sysx pade sys N sysx pade sys N sysx pade sys N 功能 对连续系统sys产生N阶Pade近似的延时后 生 成新的系统sysx LTILTILTILTI模型的简单组合与复杂模型组合模型的简单组合与复杂模型组合模型的简单组合与复杂模型组合模型的简单组合与复杂模型组合 1 1 1 1 LTILTILTILTI模型的简单组合模型的简单组合 1 1 1 1 若假定两环节均为单输入单输出的系统若假定两环节均为单输入单输出的系统SASASASA和和SBSBSBSB 两个环节级联 两个环节级联 syssyssyssys series SAseries SAseries SAseries SA SB SB SB SB 两个环节并联 两个环节并联 sys parallel SAsys parallel SAsys parallel SAsys parallel SA SB SB SB SB A A A A环节前向 环节前向 B B B B环节反馈 环节反馈 S feedback SA SB S feedback SA SB S feedback SA SB S feedback SA SB 2 2 2 2 当在多输入多输出系统中 必须增加输入变量和输出变量的当在多输入多输出系统中 必须增加输入变量和输出变量的 编号 编号 级联 级联 sys series SAsys series SAsys series SAsys series SA SBSBSBSB outputA inputB outputA inputB outputA inputB outputA inputB 并联 并联 sys parallel SA SB InputA InputB OutputA OutputB sys parallel SA SB InputA InputB OutputA OutputB sys parallel SA SB InputA InputB OutputA OutputB sys parallel SA SB InputA InputB OutputA OutputB 反馈 反馈 sys feedback SA SB feedout feedin sign sys feedback SA SB feedout feedin sign sys feedback SA SB feedout feedin sign sys feedback SA SB feedout feedin sign 例例5 14 5 14 5 14 5 14 计算图5 1所示的系统的传递函数 MATLAB源程序为 s1 tf 2 5 1 1 2 3 s1 tf 2 5 1 1 2 3 s1 tf 2 5 1 1 2 3 s1 tf 2 5 1 1 2 3 系统s1的传递函数模型 s2 zpk 2 10 5 s2 zpk 2 10 5 s2 zpk 2 10 5 s2 zpk 2 10 5 系统s2的零极点增益模型 sys feedback s1 s2 sys feedback s1 s2 sys feedback s1 s2 sys feedback s1 s2 s1环节前向 s2环节反馈 5 s 2 s 10 程序运行结果为 程序运行结果为 Transfer function 系统s1的传递函数模型 2 s 2 5 s 1 s 2 2 s 3 Zero pole gain 系统s2的零极点增益模型 5 s 2 s 10 Zero pole gain 系统s1 s2的反馈零极点增益模型 0 18182 s 10 s 2 281 s 0 2192 s 3 419 s 2 1 763s 1 064 2 2 2 2 LTILTILTILTI模型的复杂模型组合模型的复杂模型组合 对复杂系统的任意组合 在MATLAB中 则采用集成的软 件包 让机器自动去完成复杂的组合 人们只要输入各环节 的LTI模型和相应的联接矩阵与输入矩阵 指定输出变量 软 件包会自动判别输入的模型表述方式 作出相应的运算并最 后给出组合后系统的状态方程 在求解过程中 主要涉及 append append append append 函数和函数和connect connect connect connect 函数函数 通常 由以下五个步骤来完成 通常 由以下五个步骤来完成 对方框图中的各个环节进行编号 建立它们的对象模型 利用append函数命令建立无连接的状态空间模型 sap append s1 s2 sm 按规定写出系统的互联接矩阵q 互联矩阵q中的每一行由组合系统的一个输入编号和构成该输 入的其它输出编号组成 其中该行的第一个元素为该输入的 编号 接下来的元素则由构成该输入的其它子框的输出编号 组成 如果为负反馈 则编号应取负号 选择组合系统中需保留的对外的输入和输出端的编号并列 出 Inputs i1 i2 outputs j1 j2 用connect命令生成组合后的系统 连续系统与采样系统之间的转换连续系统与采样系统之间的转换连续系统与采样系统之间的转换连续系统与采样系统之间的转换 若连续系统的状态方程为 DuCxy BuAxx 则对应的采样系统状态方程为 1 kxuDkxCky kuBkxAkx dd dd 其中 At d eA s T tA d BdeB 0 CCd DDd Ts为采样周期 反之 采样系统到连续系统的转换关系为上式的逆过程 ln 1 d s A T A dd ABIAB 1 d CC d DD 1 1 1 1 转换原理转换原理 2 2 2 2 连续系统与采样系统之间的转换函数连续系统与采样系统之间的转换函数 sys d2d sys Ts sysc d2c sysd method sysd c2d sysc Ts method 调用格式调用格式调用格式调用格式 采样系统改变采样频率d2dd2dd2dd2d 采样系统转换为连续系 统 d2cd2cd2cd2c 连续系统转换为采样系 统 c2dc2dc2dc2d 功 能功 能功 能功 能函数函数函数函数 名名名名 例例5 17 5 17 5 17 5 17 系统的传递函数为 输入延时Td 0 35秒 试用一阶保持法对连续系统进行离散 采样周期Ts 0 1s MATLABMATLABMATLABMATLAB程序为 程序为 sys tf 2 5 1 1 2 3 td 0 5 sys tf 2 5 1 1 2 3 td 0 5 sys tf 2 5 1 1 2 3 td 0 5 sys tf 2 5 1 1 2 3 td 0 5 生成连续系统的传递函数 模型 sysd c2d sys 0 1 foh sysd c2d sys 0 1 foh sysd c2d sys 0 1 foh sysd c2d sys 0 1 foh 形成采样系统 程序运行结果为 程序运行结果为 Transfer function 2 036 z 2 3 628 z 1 584 z 5 z 2 1 792 z 0 8187 Sampling time 0 1 32 152 2 2 ss ss sH 5 2 控制系统的时域分析 时域分析是一种直接在时间域中对系统进行分析的方 法 具有直观和准确的优点 它是根据控制系统输入与输出 之间的时域表达式 分析系统的稳定性 瞬态过程和稳态误 差 控制系统最常用的分析方法有两种 一是当输入信号为 单位阶跃时 求出系统的响应 二是当输入信号为单位冲激 函数时 求出系统的响应 1 1 1 1 生成特定的激励信号的函数生成特定的激励信号的函数gensig gensig gensig gensig 格式 格式 u t gensig type tau u t gensig type tau u t gensig type tau u t gensig type tau 功能 按指定的类型type和周期tau生成特定类型的激励信号u 其中变元type可取字符为 sin 正弦 square 方波 pulse 脉 冲 2 2 2 2 LTILTILTILTI模型的单位冲激响应函数模型的单位冲激响应函数impulse impulse impulse impulse 格式 impulse sys 功能 绘制系统sys sys由函数tf zpk或ss产生 的单位冲激响 应 结果不返回数据 只返回图形 例例5 19 5 19 5 19 5 19 系统传递函数为 系统传递函数为 求脉冲响应 MATLAB程序如 下 sys tf 4 1 1 4 sys tf 4 1 1 4 sys tf 4 1 1 4 sys tf 4 1 1 4 生成传递函 数模型 impulse sys impulse sys impulse sys impulse sys 计算并绘制 系统的单位冲激响应 title title title title 脉冲响应脉冲响应 该程序运行所得结果如图5 5所 示 4 4 2 ss sG 图5 5系统的脉冲响应 3 3 3 3 状态空间模型系统的零输入响应函数状态空间模型系统的零输入响应函数initial initial initial initial 格式 initial sys x0 功能 绘制状态空间模型sys在初始条件x0下 的零输入响应 不返回数据 只绘出 响应曲线 该响应由如下方程表征 连续时间 Axx Cxy 0 0 xx 离散时间 1 kAxkx kCxky 0 0 xx 4 4 4 4 LTILTILTILTI模型任意输入的响应函数模型任意输入的响应函数lsim lsim lsim lsim 格式 格式 lsim sys u T lsim sys u T lsim sys u T lsim sys u T 功能 计算和绘制LTI模型sys在任意输入u 持续时间T的 作用下的输出y 不返回数据 只返回图形 T为时间数组 它的步长必须与采样周期Ts相同 当u为矩阵时 它的列作 为输入 且与T i 行的时间向量相对应 例如t 0 0 01 5 u sin t lsim sys u t 完成系统sys对输入u t sin t 在5秒内的响 应仿真 5 5 5 5 LTILTILTILTI模型的阶跃响应函数模型的阶跃响应函数step step step step 格式 格式 step sys step sys step sys step sys 功能 绘制系统sys sys由函数tf zpk或ss产生 的阶跃响应 结果不返回数据 只 返回图形 对多输入多输出模型 将自动求每一输入的阶跃 响应 例例5 21 5 21 5 21 5 21 求系统 的方波响应 其中方波周期为6秒 持续时间12秒 采样周期为0 1秒 MATLABMATLABMATLABMATLAB程序为 程序为 u t gensig square 6 12 0 1 生成方波信号 plot t u hold on 绘制激励信号 sys tf 1 1 1 2 5 生成传递函数模型 lsim sys u t k 系统对方波激励信号的响应 该程序运行所得结果如图5 7所示 52 1 2 ss s sG 图5 7 方波响应曲线 5 3 控制系统的根轨迹 在控制系统分析中 为了避开直接求解高阶多 项式的根时遇到的困难 在实践中提出了一种图解 求根法 即根轨迹法 所谓根轨迹是指当系统的某 一个 或几个 参数从 到 时 闭环特征方程 的根在复平面上描绘的一些曲线 应用这些曲线 可以根据某个参数确定相应的 特征根 在根轨迹法中 一般取系统的开环放大倍 数K作为可变参数 利用它来反映出开环系统零极 点与闭环系统极点 特征根 之间的关系 根轨迹可以分析系统参数和结构已定的系统的时域 响应特性 以及参数变化对时域响应特性的影响 而且还可以根据对时域响应特性的要求确定可变参 数及调整开环系统零极点的位置 并改变它们的个 数 也就是说根轨迹法可用于解决线性系统的分析 与综合问题 根轨迹根轨迹 是指开环系统某个参数是指开环系统某个参数 由由0 0 0 0变化到变化到 闭环特征根在闭环特征根在s s s s平面平面 上移动的轨迹 根轨迹与系统性能密切相关上移动的轨迹 根轨迹与系统性能密切相关 K K K Ks s s ss s s s K K K K K K K Ks s s ss s s s K K K K s s s s 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 41 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 41 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 K K K K s s s s K K K K s s s s 表示系统的闭环极点表示系统的闭环极点 0 0 0 0 j j j j j0 5j0 5j0 5j0 5K K K K 1 2 1 2 1 2 1 2 0 5 0 5 0 5 0 5 1 1 1 1 s s s s1 1 1 1 s s s s2 2 2 2 闭环特征方程为闭环特征方程为 s s s s2 2 2 2 s s s s K K K K 0 0 0 0 解得闭环解得闭环 特征根表达式特征根表达式 令令K K K K 由由0 0 0 0到到 变动变动 s s s s1 1 1 1 s s s s2 2 2 2在 在s s s s平面的平面的 移动轨迹即为根轨迹 移动轨迹即为根轨迹 研究根轨迹的目的研究根轨迹的目的 分析系统的各种性能分析系统的各种性能 稳定性 稳态性能 动态性能 稳定性 稳态性能 动态性能 根轨迹根轨迹 root locusroot locus 概念概念 1 1 1 1 s s s ss s s s K K K K R R R R s s s s C C C C s s s s 开环零点 开环零点 指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 开环极点 开环极点 指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 闭环零点 闭环零点 指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成 对于闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成 对于 单位反馈系统 闭环零点就是开环零点 单位反馈系统 闭环零点就是开环零点 闭环极点 闭环极点 指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根 指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根 闭环极点与开环零 极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零 极点以及根轨迹增益K K 均有关 均有关 K K 0 0 开闭环极点相同 开闭环极点相同 n n n n j j j j j j j j m m m m i i i i i i i i n n n n m m m m p p p ps s s s z z z zs s s s K K K K p p p ps s s sp p p ps s s sp p p ps s s sa a a a z z z zs s s sz z z zs s s sz z z zs s s sb b b b s s s sH H H Hs s s sG G G G 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 10 0 0 0 2 2 2 21 1 1 10 0 0 0 开开 闭环传递函数零极点表达式闭环传递函数零极点表达式 根轨迹增益根轨迹增益 K K K K 为开环系统根轨迹增益 闭环系统根为开环系统根轨迹增益 闭环系统根 轨迹增益轨迹增益 等于开环系统前向通路根轨迹增益 等于开环系统前向通路根轨迹增益 由下 由下 式及式及mmmm n n n n可知 可知 m m m m i i i i i i i i n n n n j j j j j j j j n n n n j j j j j j j j z z z zs s s sK K K Kp p p ps s s s p p p ps s s ss s s sG G G G s s s sH H H Hs s s sG G G G s s s sG G G G s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 根轨迹法的基本任务根轨迹法的基本任务 由已知的开环零 极点分布由已知的开环零 极点分布 及根轨迹增益 通过图解的方法找出闭环极点 及根轨迹增益 通过图解的方法找出闭环极点 s esort p s esort p s esort p s esort p 连续系统极点按实部降序排列esortesortesortesort s dsort p s dsort p s dsort p s dsort p 离散系统极点按幅值降序排列dsortdsortdsortdsort k dcgain sys k dcgain sys k dcgain sys k dcgain sys 求系统的直流 稳态 增益dcgaindcgaindcgaindcgain p pole sys p pole sys p pole sys p pole sys 求系统的极点ploeploeploeploe Wn Z damp sys Wn Z damp sys Wn Z damp sys Wn Z damp sys 求系统极点的固有频率和阻尼系统dampdampdampdamp K poles K poles K poles K poles rlocfind sys rlocfind sys rlocfind sys rlocfind sys 求系统根轨迹rloccusrloccusrloccusrloccus K poles K poles K poles K poles rlocfind sys rlocfind sys rlocfind sys rlocfind sys 计算给定根轨迹增益rlocfindrlocfindrlocfindrlocfind z tzero sys z tzero sys z tzero sys z tzero sys 求系统的传输零点tzerotzerotzerotzero pzmap sys pzmap sys pzmap sys pzmap sys 绘制系统的零极点图pzmappzmappzmappzmap 格式功 能函数名 表 系统根轨迹绘制及零极点分析函数 P199 例13 1 绘制系统的根轨迹 例13 2 绘制系统的根轨迹 并根据轨迹 判定系统的稳定性 例13 4 例13 8 5 4 控制系统的稳定性分析 系统稳定的概念系统稳定的概念 设一线性定常系统原处于某一平衡状态 若它瞬 间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态 当此 扰动撤消后 系统仍能回到原有的平衡状态 则称该 系统是稳定的 由此可知 线形系统的稳定性取决于系统的固有特 征 结构 参数 与系统的输入信号无关 要想系统稳定 只有当系统的特征根要想系统稳定 只有当系统的特征根s s 全部具有全部具有 负实部 负实部 综上所述 不论系统特征方程的特征根为何种综上所述 不论系统特征方程的特征根为何种 形式 线性系统稳定的充要条件为 所有特征根形式 线性系统稳定的充要条件为 所有特征根 均为负数或具有负的实数部分 即 所有特征根均为负数或具有负的实数部分 即 所有特征根 均在复数平面的左半部分 均在复数平面的左半部分 由于特征根就是系统的极点 因此 线性系统稳由于特征根就是系统的极点 因此 线性系统稳 定的充要条件也可定的充要条件也可表述表述为 系统的极点均在为 系统的极点均在s s平平 面的左半平面 面的左半平面 2 2 判别系统稳定性的基本原则 判别系统稳定性的基本原则 一般情况下 确定系统稳定性的方法有 一般情况下 确定系统稳定性的方法有 1 1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根 直接计算或间接得知系统特征方程式的根 2 2 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域 应用第一种类型的两种方法是 应用第一种类型的两种方法是 1 1 直接对系统特征方程求解 直接对系统特征方程求解 2 2 根轨迹法根轨迹法 应用第二种类型的两种方法是 应用第二种类型的两种方法是 1 1 劳斯劳斯 胡尔维茨判据胡尔维茨判据 2 2 奈氏判据奈氏判据 系统稳定性的MATLAB直接判定 P eig G P pole G Z zero G p z pzmap sys r roots P Matlab直接判定实例 P169 例11 1 11 2 11 3 系统稳定性的matlab图形化判定 P172 例11 4 11 5 5 5 控制系统的频域分析 频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种 经典方法 采用这种方法可直观地表达出系统的频率 特性 分析方法比较简单 物理概念比较明确 对于 诸如防止结构谐振 抑制噪声 改善系统稳定性和暂 态性能等问题 都可以从系统的频率特性上明确的看 出其物理实质和解决途径 频率分析法主要包括三种方法 Bode图 幅频 相频特性曲线 Nyquist曲线 Nichols图 h freqresp sys w h freqresp sys w h freqresp sys w h freqresp sys w 计算系统在给定实频率区间的频率响 应 freqrespfreqrespfreqrespfreqresp gm pm wcg wcp margi gm pm wcg wcp margi gm pm wcg wcp margi gm pm wcg wcp margi n sys n sys n sys n sys 绘制离散系统的Bode图marginmarginmarginmargin ngridngridngridngridNichols网格图绘制 ngridngridngridngrid dnyquist num den ts dnyquist num den ts dnyquist num den ts dnyquist num den ts 绘制离散系统的Nyquist图dnyquistdnyquistdnyquistdnyquist dnichols num den ts dnichols num den ts dnichols num den ts dnichols num den ts 绘制离散系统的Nichols图dnicholsdnicholsdnicholsdnichols dbode a b c d Ts iu dbode a b c d Ts iu dbode a b c d Ts iu dbode a b c d Ts iu 绘制离散系统的Bode图dbodedbodedbodedbode fresp evalfr sys x fresp evalfr sys x fresp evalfr sys x fresp evalfr sys x 计算系统单个复频率点的频率响应evalfrevalfrevalfrevalfr Sigma sys Sigma sys Sigma sys Sigma sys 系统奇异值Bode图绘制sigmasigmasigmasigma Nyquist sys Nyquist sys Nyquist sys Nyquist sys Nyquist图绘制nyquistnyquistnyquistnyquist nichols sys nichols sys nichols sys nichols sys Nichols图绘制nicholsnicholsnicholsnichols bode sys bode sys bode sys bode sys Bode图绘制bodebodebodebode 格式功能函数名 例P226 14 1 例14 2 14 3 画Nyquist曲线 14 4 14 5 基于频域法的控制系统稳定性能分析 P237 例14 7 14 8 14 9 控制系统的PID控制器设计 例例5 29 5 29 5 29 5 29 试绘制开环系统H s 的Nyquist曲线 判断闭环系统 的稳定性 并求出闭环系统的单位冲激响应 其中 MATLABMATLABMATLABMATLAB程序为 程序为 k 50 z p 5 2 k 50 z p 5 2 k 50 z p 5 2 k 50 z p 5 2 sys zpk z p k sys zpk z p k sys zpk z p k sys zpk z p k figure 1 nyquist sys title Nyquistfigure 1 nyquist sys title Nyquistfigure 1 nyquist sys title Nyquistfigure 1 nyquist sys title Nyquist曲线图曲线图 figure 2 sb feedback sys 1 figure 2 sb feedback sys 1 figure 2 sb feedback sys 1 figure 2 sb feedback sys 1 impulse sb title impulse sb title impulse sb title impulse sb title 单位冲激响应单位冲激响应 2 5 50 ss sH 图5 18 开环系统的Nyquist曲线图及冲激响应