有理样条曲线学习笔记（一)

曲线，曲面表示

曲线表示方法

隐式表示法：在xy平面上曲线可以使用f(x,y)=0的隐含地描述了曲线上点的x，y坐标之间所满足的关系，对于一条给定的曲线，除了差一个常数因子外，方程是唯一的。
参数表示法：曲线上点的每个坐标分量均被表示为一个独立参数的显示函数，其形式如C(u)=(x(u),y(u)),故C(u)是一个独立变量u的矢值函数，尽管在[a,b]可以是任意的，但通常将其规划为[0,1].一条曲线的参数表示是不唯一的。

曲面表示方法

隐式表示法：f(x,y,z)=0
参数表示法：S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)，其中曲面的参数方程中，需要连个参数.固定u不变，让v变化。则产生球面的纬线。固定v不变，让u变化，则产生球面的经线。

方法比较

通过增加一个z坐标，很容易将参数方法推广到三维空间任意曲线的表示，而隐式方法只能用来表示xy（yz，xz）p平面上的曲线。
隐式方法表示有界的曲线段是不方便的，而在参数表示形式中，曲线的有界性由参数区间的有界性自然得到，另一方面，无界的几何元素利用参数方法表示也是不方便的。
曲线的参数表示同事给出了曲线的一个方向；而隐式表示则不然。因此，利用参数表示形式很容易生成曲线上的有序点列。
在用计算机进行形状设计和表示时，参数形式更直观，自然，在很多参数表示形式中共，系数具有相当重要的集合意义，这导致直观的设计方法和具有几何特色，数值稳定的算法。
许多几何操作的计算复杂度极大地依赖于所采用的表示方法，两个典型的例子是：
当计算曲线或曲面上点的位置时，采用隐式表示形式是困难的；
当给定一个点时，要判断它是否在曲线或曲面上时，采用参数形式是困难的。
当采用参数形式时，经常需要处理由参数变化引起的奇异性，而这种奇异性并不是由于本身的几何特性引起的。（奇异性是指函数的不连续或倒数不存在，表现奇异性的点称为奇异点）

幂基曲线

拐点：若平面曲线在某一点处是光滑的，并且曲线在该点处的切线穿过该曲线，则称改点为该平面曲线的拐点。意味着在该点前后去信啊的转弯方向发生了改变。在拐点处，或者C"(u)=0,或C’(u)||C"(u),在u=u0处存在尖点的一个必要条件是：C’(u)=0。

表示方法的缺点：

它用于形状设计时不够自然，系数只能传递很少的关于曲线形状的直观的几何印象。而且，设计者通常需要指定曲线两端的端点条件，而不仅仅是起点处的条件。
处理幂基多项式的算法更多地具有带式的风格而非几何的风格。
在数值计算上，幂基形式不是一种好的形式。

Bezier曲线

性质：
非负性
规范性
端点性质：在0和1处的基函数值为1
最大值在[0,1]内只达到最大值一次。即仅当u=i/n时为最大值。
对称性：基函数关于u=1/2对称。

有理Bezier曲线

性质：
变差减少性：和多项式Bezier曲线相同。
如果权重因子为1时，Bezier曲线和有理Bezier曲线表达式相同，即Bezier曲线一种特殊的有理Bezier曲线。
端点插值性：C(0)=P0,C(1)=Pn.
一个点的齐次坐标不是唯一的。

张量积曲面