矩和质心之积分的应用

【矩和质心简介】

【沿直线的质量】

【一维示例：金属丝和细杄】

【小总结1----公式】

【思考一下1】

【二维示例：薄板】

【小总结2----公式】

【思考一下2】

【矩和质心简介】

许多结构和力学系统的行为跟它的质量集中在单独的一个点那样，该点称为质心。（图 1）。知道如何求这个点的位置是重要的并且做这件事基本上是数学工作。我们暂时只处理维和二维物体。三维物体利用重积分处理。

【沿直线的质量】

我们分阶段发展数学建模。第一阶段是设想在刚性 x 轴上的质量 m1，m2 和 mg 被支撑在位于原点的支点上

（图1）

（图2）

我们太阳系的行星、小行星和彗星绕着它们的集体质心(位于太阳系内部）旋转。

这样生成的系统可能平衡，也可能不平衡，这取决于质量多大以及如何安置它们。
每个质量 $m_{k}$ 生成一个向下的力 $m_{k}g$ ，它等于质量大小乘以重力加速度。这些力的每一个都有一个绕原点使轴转动的倾向，跟你转动一个跷跷板一样。这个称为转矩的效果由力 $m_{k}g$ 和从作用点到原点的有号距离的乘积来测量。在原点左边的质量施加一个负的（反时针）转矩。原点右边的质量施加一个正的(顺时针）转矩。

转矩的和测最一个系统绕原点转动的倾向，这个和称为系统转矩：

系统转矩 = $m_{1}gx_{1} + m_{2}gx_{2} + m_{3}gx_{3}$ （等式1）

当且仅当系统的转矩是零,它将平衡。
如果在等式（1）中提出公因子g。我们看到系统转矩是：

于是，转矩是重力加速度g。和数 $m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3}$ 的乘积。这里 g 是环境的特征，系统偶
然处于其中，而数 $m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3}$ 是系统本身的特征，这足一个常数，不论系统位于哪里，它都保持同一值。
        数 $m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3}$ 称为系统关于原点的矩。它是个别质量的矩 $m_{1}x_{1},m_{2}x_{2},m_{3}x_{3}$ 之和。
                                                         $M_{0}$ = 系统关于原点的矩 = $\sum m_{k}x_{k}$
                                                （这生我们转换成 $\sum$ 记号，以便能含有更多的项。）
        我们通常想知道把支点放在哪里可使系统平衡，即把支点放在什么点：可使转矩之和为零。

（图3）

【注：比较质量和重量】

重量是地心引力拉一个质量的结果。如果一个质量为 m 的物体放在重力加速度为 g 的位置，物体在那里的重量（按照牛顿第二定律）是 F = mg。

每个质量关于在这个特殊位置的支点的转矩是：
$m_{k}$ 关于 $\bar{x}$ 的转矩 = （ $m_{k}$ 离开 $\bar{x}$ 的有号距离）（向下的力）

= $(x_{k} - \bar{x})m_{k}g$
写出说明这此转矩的和是零的等式,我们就得到能够解出了的方程：

这最后的等式告诉我们为求 x ，需用系统的总质量除系统的矩：

点 x，称为系统的质心。

【一维示例：金属丝和细杄】

在许多应用中，我们需要知道杆或细丝的质心。在这类情况下,我们可以用一个连续两数
为质量分布建模，我们公式中的求和符号就以我们就要叙述的方式变为积分。
设想一段沿 x 轴从 x = a 到 x = b 放置的细长条并且通过区间 [a, b] 的一个划分，把它切成质量为 Δ $m_{k}$ 的小段。

（图4)

第 k 段长 Δ $x_{k}$ 单位，并且距离原点近似为 $x_{k}$ 。现在注意三件事情。
首先,细长条的质心 $\bar{x}$ 近似地和质点系统的质心一样，把每一质量 Δ $m_{k}$ 放在点 $x_{k}$ 就得到这
个质点系统：

其次，细长条的每一段关于原点的短近似地是 $x_{k}\Delta m_{k}$ ，于是，系统矩近似地是 $x_{k}\Delta m_{k}$ 之和：
系统矩 ≈ $\sum x_{k}\Delta m_{k}$
最后，如果细长条在 $x_{k}$ 的密度是 $\delta (x_{k})$ ，用每单位长度的质量表示，如果，是 $\delta$ 连续的，则
$\Delta m_{k}$ 近似地是 $\delta (x_{k})$ $\Delta x_{k}$ （每单位长的质量乘长度）：

组合这三个考察，即得

（近似式2）

近似式(2）中的分子是连续函数 $x\delta (x)$ 在闭区间[a.b]上的黎曼和，而分母则是函数 $\delta (x)$ 在这个区间上的黎曼和。我们期望近似式(2）中的逼近随着分割愈来愈细而改进,这就导致等式

（公式1）

【注：密度】
一种物质的密度是每单位体积的质量。但在实践中，我们往往使用测量方便的单位。对于金属丝，杆和窄条，我们使用单位长度的质量。对于平的薄片和平板，我们使用每单位面积的质量。

【小总结1----公式】

这就是我们用以求 $\bar{x}$ 的公式：

【思考一下1】

Q1：系统转矩是什么？它由什么决定？

A1：系统转矩也称转矩的和，它测量的是一个系统绕原点转动的倾向。它由质量、引力和距离决定。

Q2 ：若想让系统达到平衡，系统转矩需要达到什么条件？

A2 ：系统转矩 = 0。

Q3： “ 系统关于原点的矩 ” 与什么有关？

A3：质量和距离。

Q4 ：” 个别质量的矩 “ ，和 ” 系统关于原点的矩 “ 有什么关系？

A4 ：个别质量的矩针对系统中的某一个物体，关于原点的矩针对系统整体。

Q5：我们为什么要引入" 矩 ” 这个概念？

A5：给计算质心做铺垫。

【思考一下】

如何求分布在平面区域上的质量

（图5）

假定我们有分布在平面上的质量的有限集，在点 $(x_{k} , y_{k})$ 的质量为 $m_{k}$ 见(图5）. 系统的的质量是:

系统质量： $M = \sum m_{k}$

每一个质量有关于每个轴的矩。它关于x轴的矩是 $m_{k}y_{y}$ ，而它关于y轴的矩是 $m_{k}x_{k}$ 。整个系统
关于两个轴的矩是：

关于 x 轴的矩： $M_{x} = \sum m_{k}y_{k}$

关于 y 轴的矩： $M_{y} = \sum m_{k}x_{k}$

系统质心的x 坐标定义为:

$\bar x = \frac{M_{y}}{M} = \frac{\sum m_{k}x_{k}}{\sum m_{k}}$ （等式2）

对于这样选择的 $\bar x$ ，跟一维情形一样，系统关于直线 x = $\bar x$ 平衡(图6）。

系统质心的 y 坐标定义为：

$\bar y = \frac{M_{x}}{M} = \frac{\sum m_{k}y_{k}}{\sum m_{k}}$ （等式3）

对于这样选择的 $\bar y$ ，系统关于直线 y = $\bar y$ 了也平衡。质量关于直线 y = $\bar y$ 的转矩相互抵消。这样只要涉及到平衡问题，整个系统的行为就跟它的质量在单独一点 $(\bar x , \bar y )$ 一样。我们称这个点为系统的质心。

（图6）

【二维示例：薄板】

（图7）

一个平板被切成平行于 y 轴的窄条。一个典型条形关于每个轴作用的矩是它的质量 Δm 集中在条形的质心 $(\bar x , \bar y )$ 作用的矩。

设想平板占据 x，y平面的一个区域，把它切割成平行于一个坐标轴(在图7中，是y轴）的窄条。一个典型窄条的质心是 $(\bar x , \bar y )$ 。我们把窄条的质量 Δm 当作集中在 $(\bar x , \bar y )$ 来处理。窄条关于 y 轴的矩就是 $\bar x \Delta m$ ；窄条关于x 轴的矩是 $\bar y\Delta m$ 。等式（2）和（3）就成为

跟一维情形一样，和是积分的黎曼和，并且由乎板切成的窄条愈来愈窄时趋向这些积分。我们把这些积分符号化地写成如下公式。

【小总结2----公式】

例3（常密度板）图8 所示的三角形平板有常密度。=3克/ 厘米？

求：
                (a）平板关于y轴的短M，
                (h）平板的质量M.
                (c）平板质心的x坐标.

（图8）【思考一下】

Q ：有几种方法来计算？

A ：从不同方向思考

（图9）

解：

方法1 ：竖直窄条（图９）

（图10）方法2：水平窄条

矩 $M_{x}$ ：典型水平窄条质心的 y 坐标是 y，(见图10）,于是 $\bar y = y$ 质心的，坐标是三角形的横截线的中点的 x 坐标。这使它是 y/2 (窄条左端的 x 值）和1（窄条右端的 x 值）的亚均值

【思考一下2】

质心是什么？

当密度两数是常数时，它就从 $\bar x$ 和 $\bar y$ 的公式中被消去。这时涉及到 x 和 $\bar y$ 时， $\delta$ 都可当作是1。

这样，当密度是常数时，质心是物体的几何特征，而非构成它的物质的特征。

在这种情形，工程师可以称质心为形状的质心，比如在“求三角形或锥体的质心〞。为求形状的质心，只须令 $\delta$ 等于1，像前而那样求 $\bar x$ 和 $\bar y$ ，即用质量除矩。