1 投资组合的预期收益率

假设由N只股票构成一个投资组合，各只股票的预期收益率分别为E(Ri)E(R_i)E(Ri)，则投资组合的预期收益率计算如下：

E(Rp)=∑wiE(Ri)=[w1,w2,...,wN][E(R1),E(R2),...,E(RN)]T且满足：∑wi=1E(R_p) = \sum w_iE(R_i) = [w_1,w_2,...,w_N][E(R_1),E(R_2),...,E(R_N)]^T \\[10pt] 且满足：\sum w_i =1 E(Rp)=∑wiE(Ri)=[w1,w2,...,wN][E(R1),E(R2),...,E(RN)]T且满足：∑wi=1

简单收益率计算

rt=Pt+DtPt−1−1r_t = \frac{P_t+D_t}{P_{t-1}} - 1rt=Pt−1Pt+Dt−1

复利收益率计算

由简单收益率计算复利收益率的公式如下：

Rc=(1+r1)(1+r2)....(1+rt)1tT−1R_c = {(1+r_1)(1+r_2)....(1+r_t)}^{\frac{1}{t}T}-1Rc=(1+r1)(1+r2)....(1+rt)t1T−1

其中，t是持有期，T是需计算的复利期。

连续收益率计算

Rt=ln(Pt+DtPt−1)R_t = ln(\frac{P_t + D_t}{P_{t-1}})Rt=ln(Pt−1Pt+Dt)

通常情况下，年化收益率可通过日收益或者月收益率计算得到，其计算公式如下：

Ryear=rday∗252Ryear=rmonth∗12orRyear=Rday∗252Ryear=Rmonth∗12R_{year}=r_{day}*252 \\[10pt] R_{year}=r_{month}*12 \\[10pt] or \\[10pt] R_{year}=R_{day}*252 \\[10pt] R_{year}=R_{month}*12 \\[10pt] Ryear=rday∗252Ryear=rmonth∗12orRyear=Rday∗252Ryear=Rmonth∗12

在股票的日收益计算中，我们通常使用连续收益率（对数收益率）进行计算，因为该收益率考虑了连续的时间价值。

2 投资组合的波动率

在计算投资组合的波动率之前，通常需要先计算每只股票收益率之间的协方差与相关系数，以两只股票为例进行说明：

σp2=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2Cov(R1,R2)=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2ρ12σ1σ2两边开根号：σp=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2Cov(R1,R2)=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2ρ12σ1σ2其中：ρ12=Cov(R1,R2)σ1σ2\sigma^2_p = (w_1\sigma_1)^2 + (w_2\sigma_2)^2 +2w_1w_2Cov(R_1,R_2) \\[10pt] = (w_1\sigma_1)^2 + (w_2\sigma_2)^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 \\[10pt] 两边开根号：\\[10pt] \sigma_p = \sqrt{(w_1\sigma_1)^2 + (w_2\sigma_2)^2 +2w_1w_2Cov(R_1,R_2)} \\[10pt] = \sqrt{(w_1\sigma_1)^2 + (w_2\sigma_2)^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2} \\[10pt] 其中：\rho_{12} = \frac{Cov(R_1,R_2)}{\sigma_1\sigma_2} σp2=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2Cov(R1,R2)=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2ρ12σ1σ2两边开根号：σp=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2Cov(R1,R2)=(w1σ1)2+(w2σ2)2+2w1w2ρ12σ1σ2其中：ρ12=σ1σ2Cov(R1,R2)

由N只股票构成的投资组合，其收益率方差计算表达式如下：

σp2=∑∑wiwjCov(Ri,Rj)=∑∑wiwjρijσiσj=W∑WT∑=[σ12σ12⋯σ1nσ21σ22⋯σ2n⋮⋮⋱⋮σN1σN2⋯σN2]\sigma^2_p = \sum \sum w_iw_jCov(R_i,R_j) = \sum \sum w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j=W\sum W^T \\[10pt] \sum = \begin{bmatrix} {\sigma^2_1}&{\sigma_{12}}&{\cdots}&{\sigma_{1n}}\\ {\sigma_{21}}&{\sigma^2_2}&{\cdots}&{\sigma_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {\sigma_{N1}}&{\sigma_{N2}}&{\cdots}&{\sigma^2_N}\\ \end{bmatrix} σp2=∑∑wiwjCov(Ri,Rj)=∑∑wiwjρijσiσj=W∑WT∑=⎣⎢⎢⎢⎡σ12σ21⋮σN1σ12σ22⋮σN2⋯⋯⋱⋯σ1nσ2n⋮σN2⎦⎥⎥⎥⎤

波动率（标准方差）近似遵循平方根法则，可以通过日收益波动率进行计算，公式如下：

σmonth=22σdayσyear=252σday\sigma_{month} = \sqrt{22}\sigma_{day} \\[10pt] \sigma_{year} = \sqrt{252}\sigma_{day} \\[10pt] σmonth=22σdayσyear=252σday

本文通过一个案例来说明如何计算投资组合的年化收益率、年化波动率，该投资组合有 5 个不同的资产构成，投资组的权重配比如下表：

资产名称	上海机场	宝钢股份	海通证券	工商银行	中国石油
权重	0.15	0.2	0.5	0.05	0.1

案例中投资组合完整的数据可以通过百度网盘获取，提取码：tday。

案例中的日收益率使用对数收益率进行计算，Python程序如下：

data = pd.read_excel(r'C:\Users\Administrator\Desktop\构建投资组合的五只股票数据.xlsx',header = 0,index_col = 0)#归一化处理并画收盘价的走势图
(data/data.iloc[0]).plot(figsize=(8,6))
plt.legend()
plt.grid('True')# 对数收益率走势图
R = np.log(data/data.shift(1)) #计算日对数收益率
R = R.dropna() #删除缺失值
R.describe() #日收益率情况查看#直方图
R.hist(bins=40)
plt.grid('True')

#年化收益率：日收益转化
R_mean = R.mean()*252#计算年化协方差
R_cov = R.cov()*252
#计算相关系数
R_corr = R.corr()
#计算年化标准差
R_std = R.std()*np.sqrt(252)#投资组合的预期年化收益
weights = np.array([0.15,0.2,0.5,0.05,0.1])
# R_port = np.sum(weights*R_mean) #向量乘法计算
R_port = np.dot(weights,R_mean) #数组计算
# weights.shape
# R_mean.shape
vol_port = np.sqrt(np.dot(weights,np.dot(R_cov,weights.T)))
print('投资组合的年化预期收益率：',round(R_port,4))
print('投资组合的年化收益波动率：',round(vol_port,4))
# 投资组合的年化预期收益率： -0.0394
# 投资组合的年化收益波动率： 0.2128

使用设定的权重计算的投资组合的年化收益率为-3.94%，年化收益波动率为21.28%。

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