三角函数的正交性

废话不多说，直接上公式：

∫−ππ(sin⁡nx)(sin⁡mx)dx=0，其中n≠m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(sin⁡nx)(cos⁡mx)dx=0，其中n≠m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(cos⁡nx)(cos⁡mx)dx=0，其中n≠m，n,m=0,1,2,⋯\begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\sin nx) (\sin mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \neq m，n,m=0,1,2,\cdots \\\\ & \int_{-\pi}^{\pi} (\sin nx) (\cos mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \neq m，n,m=0,1,2,\cdots \\\\ & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos nx) (\cos mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \neq m，n,m=0,1,2,\cdots \\\\ \end{aligned} ∫−ππ(sinnx)(sinmx) dx=0，其中 n=m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(sinnx)(cosmx) dx=0，其中 n=m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(cosnx)(cosmx) dx=0，其中 n=m，n,m=0,1,2,⋯

其他公式：
∫−ππ(cos⁡mx)(cos⁡mx)dx=π，其中m=0,1,2,⋯\begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos mx) (\cos mx) ~dx = \pi，其中~m=0,1,2,\cdots \\\\ \end{aligned} ∫−ππ(cosmx)(cosmx) dx=π，其中 m=0,1,2,⋯

公式推导

∫−ππ(sin⁡nx)(sin⁡mx)dx=−12[∫−ππcos⁡(n+m)xdx−∫−ππcos⁡(n−m)xdx]（积化和差）=−12[1n+msin⁡(n+m)x∣−ππ−1n−msin⁡(n−m)x∣−ππ]=0+0=0\begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\sin nx) (\sin mx)~ dx \\\\ = ~~& -\frac{1}{2} [ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n+m)x ~dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n-m) x~dx ] ~~~~（积化和差）\\\\ = ~~ &-\frac{1}{2} [ \frac{1}{n+m} \sin(n+m)x \mid_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{n-m} \sin(n-m)x \mid_{-\pi}^{\pi}] \\\\ = ~~ & 0+0 \\\\ = ~~ & 0 \end{aligned} = = = = ∫−ππ(sinnx)(sinmx) dx−21[∫−ππcos(n+m)x dx−∫−ππcos(n−m)x dx] （积化和差）−21[n+m1sin(n+m)x∣−ππ−n−m1sin(n−m)x∣−ππ]0+00

∫−ππ(cos⁡nx)(cos⁡mx)dx=12[∫−ππcos⁡(n−m)xdx+∫−ππcos⁡(n+m)xdx]（积化和差）=12[1n−msin⁡(n−m)x∣−ππ+1n+msin⁡(n+m)x∣−ππ]=0+0=0\begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos nx) (\cos mx)~ dx \\\\ = ~~& \frac{1}{2} [ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n-m)x ~dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n+m) x~dx ] ~~~~（积化和差）\\\\ = ~~ &\frac{1}{2} [ \frac{1}{n-m} \sin(n-m)x \mid_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n+m} \sin(n+m)x \mid_{-\pi}^{\pi}] \\\\ = ~~ & 0+0 \\\\ = ~~ & 0 \end{aligned} = = = = ∫−ππ(cosnx)(cosmx) dx21[∫−ππcos(n−m)x dx+∫−ππcos(n+m)x dx] （积化和差）21[n−m1sin(n−m)x∣−ππ+n+m1sin(n+m)x∣−ππ]0+00

∫−ππ(cos⁡mx)(cos⁡mx)dx=∫−ππ12[1+cos⁡2mx]dx=12[∫−ππ1dx+∫−ππcos⁡0xcos⁡2mxdx]=12∫−ππ1dx=π\begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos mx) (\cos mx)~ dx \\\\ = ~~ & \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2} [1+\cos 2mx] dx\\\\ = ~~& \frac{1}{2} [\int_{-\pi}^{\pi} 1 ~dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos 0x \cos 2mx ~dx] \\\\ = ~~ & \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 ~dx \\\\ = ~~ & \pi \end{aligned} = = = = ∫−ππ(cosmx)(cosmx) dx∫−ππ21[1+cos2mx]dx21[∫−ππ1 dx+∫−ππcos0xcos2mx dx]21∫−ππ1 dxπ

其他公式同理

参考资料

纯干货数学推导_傅里叶级数与傅里叶变换_Part1_三角函数的正交性：https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v

考研必备数学公式大全：https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576