数控技术-直线插补 - 逐点比较法

前言：还有5天要考《数控技术》了，开始（复习）预习时发现，考点之一是直线插补。这个知识点不是我上个学期的课程设计——运动控制卡的主要功能之一吗。我当时对直线插补的理解还是很简单的：一边两点取中间打折，使线段更加平滑。现在看了理论实现后发现，可以说不是一个东西了，所以甚是感觉有趣。

排除掉要应付大学考试，直线插补这个知识点还是很主要的。特地写篇笔记记录，防止以后忘记。

推荐视频：《逐点比较法-478-机床数控系统综合设计-远程教育|夜大|面授|函授|家里蹲大学|宅在家|在家宅_哔哩哔哩_bilibili》北京理工大学老师讲解，up主应该是转载或代传。

1.解释

逐点比较法，顾名思义，逐个点比较。每次进给都会得到一个点，然后再和目标线段比较误差。根据误差决定下一次进给的方向，循环反复。
该方法有个重要定义：只适用于两轴决定的平面，每次进给都只能沿轴方向，必须且只能选一个轴方向。

数学定义很重要，嗯……

下面直接看效果图，图源自网络 。实践时，XY轴就是电机控制，每次移动一定单位量。

2.过程步骤

根据视频教程的总结，可访分为5步：①得出偏差函数；②偏差判别；③坐标进给；④新的偏差计算；⑤终点判别，如果没到就重复②，循环反复；

（0）符号

为下面的内容做些规定，用符号代替名词，方便阅读。

原点 O；

(xs,ys)(x_s,y_s) (xs,ys)

终点 E ；

(xe,ye)(x_e,y_e) (xe,ye)

中间点 P；（ij表示各轴进给的次数）

(xi,yj)(x_i,y_j) (xi,yj)

（1）公式由来

因为进给是单位量，所以得到的中间点P会出现3种情况：在线段上方，在线段中，在线段下方。
逐点比较法的重点是 比较偏差 ，为了方便，定义用斜率比较偏差。

下面公式例子部分只列举一种情况，排版原因不穷举了。

用线段OP的斜率与OE比较：斜率大，在线段上方；斜率相等，在线段中；斜率小，在线段下方。

yjxi>yexe\frac{y_j}{x_i} > \frac{y_e}{x_e} xiyj>xeye

数学式子要漂亮，为了方便计算，化简成与零作比较。

yi∗xe−ye∗xi>0y_i*x_e - y_e*x_i >0 yi∗xe−ye∗xi>0

这个式子就定义为偏差函数，决定了进给方向。

F=xe∗yj−xi∗ye>0F = x_e*y_j - x_i*y_e > 0 F=xe∗yj−xi∗ye>0

结合第一象限的图，点P位于线段下方时，进给就要向上，靠近线段；位于线段上方时，进给就要向前，靠近线段。即分别沿y轴正方向，x轴正方向进给。同时规定，在线段中时，也属于线段上方，沿x轴进给。

(+Δx)(+ \Delta x) (+Δx)

计算新的偏差函数，然后整理化简可得，新的偏差就等于，上一个偏差减去点E的y轴坐标，或上一个偏差加上点E的x轴坐标。

F1=xe∗yj−(xi+1)∗ye=(xe∗yj−xi∗ye)−ye=F−yeF1=xe∗(yj+1)−xi∗ye=(xe∗yj−xi∗ye)+xe=F+xeF_1 = x_e*y_j - (x_i+1)*y_e = (x_e*y_j - x_i*y_e) - y_e = F - y_e \\ F_1 = x_e*(y_j+1) - x_i*y_e = (x_e*y_j - x_i*y_e) + x_e = F + x_e F1=xe∗yj−(xi+1)∗ye=(xe∗yj−xi∗ye)−ye=F−yeF1=xe∗(yj+1)−xi∗ye=(xe∗yj−xi∗ye)+xe=F+xe

到这里就很明朗了，我只需计算初始的偏差函数，然后每次新的偏差函数根据终点E坐标和进给方向计算。无须在意中间点P的坐标。巧妙啊！

F1=F−yeF1=F+xeF_1 = F - y_e \\ F_1 = F + x_e F1=F−yeF1=F+xe

关于终点的判别，有2种方法：总步长法、总坐标法。原理都一样，其实得到轨迹图后分开xy轴，会发现就是在走 三角形 。比如走到点(x_s,y_e)再走到点(x_e,y_e)，所以，其实只要总步数够了一定能到达终点。

N=∣xe∣+∣ye∣N = |x_e| + |y_e| N=∣xe∣+∣ye∣

又或者，只要三角形的最长边已经走完了，也代表已经走到终点了。

3.例题

最后还是要做个题目练练手，不能转头就忘记了。

题目：加工第一象限直线OE，起点为坐标原点，终点坐标为E（6，3），试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。

偏差函数

F=xe∗yi−xi∗ye=6∗0−0∗3=0F = x_e*y_i - x_i*y_e = 6*0 - 0*3 = 0 F=xe∗yi−xi∗ye=6∗0−0∗3=0

偏差判别

F=0F = 0 F=0

坐标进给

(+Δx)(+ \Delta x) (+Δx)

偏差计算

F1=F−ye=−3F_1 = F - y_e = -3 F1=F−ye=−3

终点判别，等于零时代表结束。

n=∣xe∣+∣ye∣−1=9−1=8n = |x_e| + |y_e| - 1 = 9 - 1 = 8 n=∣xe∣+∣ye∣−1=9−1=8

循环第二步。

脉冲	偏差判别	进给方向	偏差计算	终点判别
0			0，(6，3)	9
1	0=0	+x	0-3=-3	8
2	-3<0	+y	-3+6=3	7
3	3>0	+x	3-3=0	6
4	0=0	+x	0-3=-3	5
5	-3<0	+y	-3+6=3	4
6	3>0	+x	3-3=0	3
7	0=0	+x	0-3=-3	2
8	-3<0	+y	-3+6=3	1
9	3>0	+x	3-3=0	0

可以发现，第一个偏差和最后一个偏差总是为0的。这是因为起点和终点肯定都在线段上，这个点也在坐标轴的整值上。

4.补充

（1）其他象限的线段

当线段的朝向是其他象限时，情况和第一象限类似。下面介绍2种方法，需要注意的是，下面两种方法得到的结果是 不一样 的，这就很奇葩了……
可以选择从偏差函数重新推导一遍得到结果，也就是视频中提到的 分别处理法 ，不常用，需要记多个公式。
可以采用相对进给的方法，将坐标取绝对值计算，即将线段转为第一象限。计算出的结果是远离坐标轴还是靠近坐标轴，根据结果相对得到原本的进给方向。为 坐标变化法 ，一般也常用这个，好用。

（2）坐标轴上的线段

这个更加简单了，只需要沿一个坐标轴进给就好了。另一个坐标轴一直不用进给。