1 布朗运动

1.1 介绍

这个我记得是初中物理的知识。这里截取一段百度百科的说法，帮大家回顾一下：

布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。其因由英国植物学家布朗所发现而得名。

作布朗运动的微粒的直径一般为10-5~10-3厘米，这些小的微粒处于液体或气体中时，由于液体分子的热运动，微粒受到来自各个方向液体分子的碰撞，当受到不平衡的冲撞时而运动，由于这种不平衡的冲撞，微粒的运动不断地改变方向而使微粒出现不规则的运动。布朗运动的剧烈程度随着流体的温度升高而增加。

1.2 随机过程表示

用公式表示，布朗运动可以表示成 $\Delta X=a\Delta t+b \epsilon \sqrt{\Delta t}, \epsilon \in N(0,1)$

当Δt很小的时候，波动性 $b \epsilon \sqrt{\Delta t}$ 占主导
当Δt很大的时候，确定性aΔt 占主导

2 伊藤引理

当X服从布朗运动的时候，求函数G(X,t)的全微分

2.1 X不是随机过程的情况（X不是关于t/Δt的函数）

此时X和t是两个独立的变量，那么函数G(X,t)的全微分如下：

$\Delta G=\frac{\partial G}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial G}{\partial X}\Delta X +\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}(\Delta t)^2+\frac{\partial^2 G}{\partial X^2}(\Delta X)^2+\cdots$

$\approx \frac{\partial G}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial G}{\partial X}\Delta X$

2.2 X是随机过程的情况（X是关于t/Δt的函数）

以布朗运动为例，此时ΔX是Δt相关的函数

我们对G使用泰勒展开： $\Delta G=\frac{\partial G}{\partial X} \Delta X +\frac{\partial G}{\partial t} \Delta t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial X^2}(\Delta X)^2 +\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial X\partial t}(\Delta X\Delta t) +\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial t^2}(\Delta t)^2 +\cdots$

这里ΔXΔt 和 $(\Delta t)^2$ 肯定是比Δt的数量级要大的

我们重点看一下 $\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial X^2}(\Delta X)^2$

$(\Delta X)^2=(a\Delta t+b \epsilon \sqrt{\Delta t})^2=a^2 (\Delta t)^2+2ab\epsilon \Delta t \sqrt{\Delta t}+b^2\epsilon^2 \Delta t \approx b^2\epsilon^2 \Delta t$

而 $\epsilon \in N(0,1)$

所以 $E(\epsilon^2)=1 \rightarrow E(\epsilon^2 \Delta t)=\Delta t, Var(\epsilon^2 \Delta t)=(\Delta t)^2 Var(\epsilon^2)$

也就是说 $\epsilon^2 \Delta t$ 的方差很小，所以我们可以将其近似看成其期望值Δt

所以 $(\Delta X)^2 \approx b^2 \Delta t$

所以：

$\Delta G \approx \frac{\partial G}{\partial X} \Delta X +\frac{\partial G}{\partial t} \Delta t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial X^2}(\Delta X)^2$

$= \frac{\partial G}{\partial X}\cdot (a\Delta t+b \epsilon \sqrt{\Delta t}) +\frac{\partial G}{\partial t} \Delta t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial X^2}b^2 \Delta t$

$=(a \frac{\partial G}{\partial X}+\frac{\partial G}{\partial t} +\frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2G}{\partial X^2})\Delta t +b \epsilon \frac{\partial G}{\partial X} \sqrt{\Delta t}$

3 伊藤等距 Ito's isometry

记 $I(t)=\int_0^t \Delta(s) \epsilon \sqrt{ds}$ ，那么 $Var[I(t)]=E[I(t^2)]=\int_0^t \Delta^2(s) ds$

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理（Ito‘s lemma）相关推荐

DirectX学习笔记--3D基本数学知识整理
最近在看<Direct9.0 3D游戏编程基础>以及浅墨大神的<windows游戏编程从零开始>两本书,希望能通过博客来记录一下自己的学习历程,整理相关的知识,方便查阅. 一. ...
数学知识整理：不定积分
1 不定积分公式 , result+C 1.1 基础公式 k kx (k≠-1) ln|x| (注意绝对值) (a≠1) 1.2 三角函数 sinx -cosx cosx sinx tanx ( ...
112页数学知识整理！机器学习-数学基础回顾.pptx
机器学习的基础是数学,数学基础决定了机器学习从业人员的上限,想要学好机器学习,就必须学好数学. 机器学习所需要的数学知识,包括了数学分析(微积分),线性代数,概率论,统计,应用统计,数值分析,常微分方 ...
数学知识整理：二重积分
1 二重积分的性质 1.1 f(x,y)在有界闭区域上可积的充分条件&必要条件在有界闭区域D上可积的函数f(x,y)必然是D上的有界函数有界闭区域D上的连续函数或者分片连续函数f(x,y) ...
数学知识整理：仿射函数（affine function）
由 1 阶多项式构成的函数,一般形式为f(x)=Ax+b 这里,A 是一个m×k 矩阵,x 是一个k维向量,b是一个 m维向量 -->反映了一种从 k维到 m 维的空间映射关系.
从714里连续减去6减几次得0_数学干货 | 小学数学1—6年级基础知识整理，预习复习都能用...
小学数学基础知识整理 (一到六年级) 小学一年级:初步认识加减法.学会基础加减. 小学二年级:完善加减法,表内乘法,学会应用题,基础几何图形. 小学三年级:学会万以内加减法,长度单位和质量单位,倍数的 ...
考研数学自整理，弥补知识漏洞（强化、冲刺）
本次分享的是博主在考研时整理的最后一份数学知识,也是上考场前对知识最后的强化.因为博主是二战上岸(第一年考数三,第二年考数一),虽然这份笔记总结的内容不多,但这里浓缩了2020前历年数三.数的一真题与 ...
从714里连续减去6减几次得0_小学数学1—6年级基础知识整理，预习复习都能用...
小学数学基础知识整理 (一到六年级) 小学一年级初步认识加减法.学会基础加减. 小学二年级完善加减法,表内乘法,学会应用题,基础几何图形.小学三年级学会万以内加减法,长度单位和质 ...
小学生学c语言基础知识,小学数学1-6年级基础知识整理，孩子学习用得上
小学数学1-6年级基础知识整理,孩子学习用得上作者:网编整理丨来源:网络丨发布时间:2020-04-16 14:35丨分享 (一到六年级) 小学一年级初步认识加减法.学会基础加减. 小学二 ...
python常用变量名_python基础知识整理
Python Python开发 Python语言 python基础知识整理序言:本文简单介绍python基础知识的一些重要知识点,用于总结复习,每个知识点的具体用法会在后面的博客中一一补充程序: 一 ...

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理（Ito‘s lemma）

1 布朗运动

1.1 介绍

1.2 随机过程表示

2 伊藤引理

2.1 X不是随机过程的情况（X不是关于t/Δt的函数）

2.2 X是随机过程的情况（X是关于t/Δt的函数）

3 伊藤等距 Ito's isometry

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理（Ito‘s lemma）相关推荐

最新文章

热门文章

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理 （Ito‘s lemma）

1 布朗运动

1.1 介绍

1.2 随机过程表示

2 伊藤引理

2.1 X不是随机过程的情况（X不是关于t/Δt的函数）

2.2 X是随机过程的情况（X是关于t/Δt的函数）

3 伊藤等距 Ito's isometry

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理 （Ito‘s lemma）相关推荐

最新文章

热门文章

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理（Ito‘s lemma）

数学知识整理：布朗运动与伊藤引理（Ito‘s lemma）相关推荐