惯性组合导航原理—[1] 方向余弦矩阵

关于旋转矩阵和四元数的推导总是记不清楚，现在新开一个惯导系列的博客，记录最近对惯性导航方面的复习过程。

本文重点：方向余弦矩阵推导，为什么绕Y轴和其他两轴的DCM不同？

1.1 过渡矩阵

1.2 旋转矩阵的表示关系

一、旋转矩阵（方向余弦矩阵）

要搞清楚什么是旋转矩阵，就要先明白什么是过渡矩阵。

1.1 过渡矩阵

假设载体坐标系（b系）下单位矢量为 $(i_{b},j_{b},k_{b})$ ，惯性坐标系（i系）下单位矢量为 $(i_{i},j_{i},k_{i})$ ，则两坐标间存在如下的转换关系：

改写为矩阵形式可以得到：

其中P就称为从i系到b系的过渡矩阵。再假设有一个三维矢量，在i系和b系下的投影分别为：

用投影表示法和坐标表示法分别可以表示为：

将公式（2）代入公式（4）的右边部分不难得到：

这就是过渡矩阵P存在的意义，可简记为下式：

其中 $C_{b}^{i}$ 表示从b系到i系的坐标变换矩阵，也就是从i系到b系的过渡矩阵（注意坐标系的前后顺序）。由于公式（2）的过渡矩阵中每一个元素均表示两坐标轴之间夹角的余弦值，因此便称 $C_{b}^{i}$ 为方向余弦矩阵。（例如 $i_{b}\cdot j_{i}$ 表示坐标轴 $ox_{b}$ 和 $oy_{i}$ 之间夹角的余弦值 $\cos(\angle ox_{b}oy_{i})$ ）。

在明白了什么是余弦矩阵后，我们就要尝试用余弦矩阵来表征坐标系之间的转换关系了。

1.2 旋转矩阵的表示关系

首先明白机体在绕不同轴转动时所产生的角度，定义俯仰角 $\theta$ （Pitch），横滚角 $\gamma$ （Roll），偏航角 $\psi$ （Yaw）如下图：

假设现从导航坐标系（n系）旋转至载体坐标系（b系），一般的旋转顺序为绕 $Z\rightarrow X\rightarrow Y$ 依次旋转偏航角 $\psi$ 、俯仰角 $\theta$ 、横滚角 $\gamma$ ，（这也是最常见的旋转顺序）按照此顺序旋转可以得到以下的方向余弦矩阵：

那么为什么三个方向的旋转矩阵长这样呢？那就一定要理解旋转前后的角度变换关系。以Z轴为例，并确定左手坐标系（这个很重要，左手右手坐标系下会得到不同的旋转矩阵），从OP旋转至OP'的过程如下图所示，利用积化和差公式将旋转关系化简即可得到上述形式的旋转矩阵。

箭头指向的即为绕Z轴旋转的旋转矩阵，同理，绕X轴旋转俯仰角和绕Y轴旋转横滚角会得到类似的结果：

X轴和Y轴的旋转矩阵很相似，但是会发现为什么旋转Y轴时主对角线的矩阵负号相反了？

这是因为选定了左手坐标系的原因（大拇指指向X轴，食指指向Y轴，中指指向Z轴）得到下列三种情况，求导过程与上述相同，只不过在绕Y轴旋转时X和Z轴的顺序要颠倒，具体看图中的公式：

所以就得到了从导航坐标系到载体坐标系的旋转矩阵 $C_{n}^{b}$ ：

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