FFT

是一种如雷贯耳的快速算法，应用范围及其广泛，就不多说了。不过 DFT 很多人并不是很清楚，只知道 DFT 比 FFT

效率低，速度慢。实际上，在很多应用场合下，DFT 反而会比 FFT 效率高很多。

首先，回顾一下复数的特性：

V = R + jI = M*(R/M + j I/M) = M*(cos(A) + j

sin(A)) = M*exp(j

A) (1)

where

R is the real and I is the image, M = sqrt(R*R + I*I) and

A=arctan2(R, I) is the angle.

DFT/FFT 首要的任务是确定系统的基频(Fundamental Frequency),

这样就能确定系统一个周期的采样点数。基频在同一个系统中可根据需要而采用不同的值。现在假设系统的采样时间为

Ts, 周期采样点数 N (对于

FFT, 一般要求 N = 2*M = 2^L, DFT 则无此要求)，则第

H 次谐波的 DFT 的计算公式可以从基本的

Fourier 积分公式中得出：

V(k) = sum (x(k - n) * exp( j 2* n *PI

* H /N)

*2/N) (2)

这里， n = 0 to N-1,

sum 是 N 项之和, 也就是一个周波(cycle)

的数据乘积之和。

累加一般可以化成迭代形式，公式 (2) 的迭代形式：

V(k)

= V(k-1) + (x(k) - x(k-N))

* exp(j 2*k*PI * H/N) *

2/N (3)

展开形式：

V_R(k)

=

V_R(k-1) + (x(k)

- x(k-N)) * cos(2*k*PI * H/N) *

2/N

V_I(k)

=

V_I(k-1) + (x(k)

- x(k-N)) * sin(2*k*PI * H/N) *

2/N (4)

通过公式(2)可以得出:

H = 0, DC offset: V(k) = (x(k) + x(k-1) + … +

x(k-N-1) ) * 2/N

H = 1, 基波：V(k) = (x(k-1) * exp(j 2 * PI

/N) + … + x(k-N-1) * exp(j 2*

(N-1)* PI/N) * 2/N

….

H = N/2: (省略)

从上面的公式可以看出，如果要计算所有的谐波，必须要计算

exp(j

2*n * PI *H /N) = cos(2*n*PI*H/N) + j

sin(2*n*PI*H/N) (5)

where n = 0 to N-1， H = 0 to N/2

公式(5)有一定的规律，因为cos, sin 是周期性的，也就是说总共 2* N* N/2

(不算DC) 个系数中有大量的重复, 最终都可以归结成 2* N 个系数：

exp(j 2*n * PI *

/N) = cos(2*n*PI*/N) + j

sin(2*n*PI*/N) (6)

where n = 0 to

N-1

FFT 通过巧妙的安排，仅使用 (6) 中 2* N 个系数 (

考虑到 cos(2PI*n/N) = sin(2PI*(n+N/4)/N) , 可进一步减少到 N)

，可以排除大量的冗余计算，从而提高速度，有人做过测算，当N 在 8 以上，DFT 开始超过 FFT， N/2+1次 DFT

计算量随N呈指数形式上升, 而 FFT 仅呈线性上升。关于FFT 的蝶形计算，到处都是，这里就不说了。

现在来看看FFT 的结果，把 N = 2M = 2^L 个数据通过 FFT 或N/2+1 次DFT

分解后得到N/2+1 个复数：

F = [DC, V(1), V(2), …., V(M) ]

序列F 中的每一个V 可以用公式(1)求出幅度和相位，也就是说，得到了频谱, 而这个频谱可由 FFT

算法一次得到，而DFT 分别做 N/2 +1 次。

如果我们的应用不是得到全部的频谱，比如音响的图示均衡器，仅仅需要某几个频点的幅值，又或者对于一个电力系统，仅关心50Hz基波, 2,

3, 5 次谐波，这时候 FFT 中的 10 次或者 20次谐波就显得多余了。那么，我们可以做几次DFT, 例如

4次，求得几个关键的谐波，这时的运算量反而少于 FFT. 更重要的是对于实时采样系统，使用迭代的DFT 公式(3),

可以在定时采样后立刻迭代计算几个关键的谐波，分散计算强度，让DFT 的运算量更低。

另一个重要的概念是DFT/FFT 的基频(Fundamental

Frequency), 假设采样频率为 fs, 采样点数为N, 那么基频:

f0 = fs / N

举个例子，电力电压采样频率为 800 Hz, 如果选用 N =

16, 那么基频就是 50Hz, 意味着经过 FFT/DFT 后，复数V(1) 就是 50Hz

电压信号的矢量。现在看另一种实际应用，发电机定子接地保护中的 20 Hz谐波注入 (Low Frequency Signal

Injection), 当 20 Hz 信号被注入到零线 (Neutral), 如果依旧使用50基频, 那么计算出的 50Hz

电压以及 150Hz 的三次谐波会受到 20Hz 信号的干扰，因为50基频无法排除 20 Hz 信号。这时我们可以使用 10 Hz

基频, 也就是同样的 800Hz采样频率, 但 N = 5*16 = 80, 通过 3 次 DFT 可以得出2 次谐波(20Hz) ,

5次谐波(50Hz) 以及15 次谐波 (150Hz) 的正确幅值。