[TJOI2019]唱、跳、rap和篮球题解

传送门

老年退役选手来写题解了

题意

有aaa个人喜欢唱，bbb个人喜欢跳，ccc个人喜欢rap，ddd个人喜欢篮球，现在要从中选出nnn个人排成一队，使得不存在位置kkk满足第kkk，k+1k+1k+1，k+2k+2k+2，k+3k+3k+3个人依次喜欢唱、跳、rap、篮球，求方案数。

两种方案不同，当且仅当有一个位置上的同学的喜好不同。

题解

为了方便，我们将连续的唱跳rap篮球四个人称为“ikun段”。

现在要计算没有ikun段的方案数并不方便，可以考虑容斥，那么答案显然是

ans=∑i=0min⁡{a,b,c,d,⌊n4⌋}(−1)if(i)ans=\sum\limits_{i=0}^{\min\{a,b,c,d,\lfloor\frac{n}{4}\rfloor\}}(-1)^if(i)ans=i=0∑min{a,b,c,d,⌊4n⌋}(−1)if(i)

其中f(i)f(i)f(i)表示指定iii处ikun段，其它地方任意排列的方案数。

要指定iii处ikun段，注意到它们不能相交，设第jjj处ikun段的开头位置为aja_jaj，显然有

aj+3<aj+1a_j+3<a_{j+1}aj+3<aj+1

1≤a1,ai+3≤n1\leq a_1,a_i+3\leq n1≤a1,ai+3≤n

简单整理一下可以得到

1≤a1<a2−3<a3−6<⋯<aj−3(j−1)≤n−3i1\leq a_1<a_2-3<a_3-6<\cdots<a_j-3(j-1)\leq n-3i1≤a1<a2−3<a3−6<⋯<aj−3(j−1)≤n−3i

因此方案数就是Cn−3iiC_{n-3i}^iCn−3ii。

指定了iii处出现ikun段之后，剩下n−4in-4in−4i个位置任意排列，也就是从a−ia-ia−i个唱、b−ib-ib−i个跳、c−ic-ic−i个rap、d−id-id−i个篮球中选出n−4in-4in−4i个来排列。这是经典的指数型生成函数问题，答案就是h(x)h(x)h(x)的项xn−4ix^{n-4i}xn−4i的系数乘上(n−4i)!(n-4i)!(n−4i)!，其中

h(x)=(∑j=0a−ixjj!)(∑j=0b−ixjj!)(∑j=0c−ixjj!)(∑j=0d−ixjj!)h(x)=\left(\sum\limits_{j=0}^{a-i}\frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{b-i}\frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{c-i}\frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{d-i}\frac{x^j}{j!}\right)h(x)=(j=0∑a−ij!xj)(j=0∑b−ij!xj)(j=0∑c−ij!xj)(j=0∑d−ij!xj)

NTT求卷积即可。

总结一下，我们要求的东西就是

ans=∑i=0min⁡{a,b,c,d,⌊n4⌋}(−1)iCn−3ii(n−4i)![xn−4i]h(x)ans=\sum\limits_{i=0}^{\min\{a,b,c,d,\lfloor\frac{n}{4}\rfloor\}}(-1)^iC_{n-3i}^i(n-4i)![x^{n-4i}]h(x)ans=i=0∑min{a,b,c,d,⌊4n⌋}(−1)iCn−3ii(n−4i)![xn−4i]h(x)

组合数的分母也含有(n−4i)!(n-4i)!(n−4i)!，可以约去，但这其实无所谓。

枚举iii，求卷积O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)，总复杂度O(n2log⁡n)O(n^2\log n)O(n2logn)

我怀疑这题暴力求卷积+卡常优化可以比NTT快

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>template <typename T> inline void read(T &x) {int f = 0, c = getchar(); x = 0;while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - 48, c = getchar();if (f) x = -x;
}
template <typename T, typename... Args>
inline void read(T &x, Args&... args) {read(x); read(args...);
}
template <typename T> void write(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}
template <typename T> inline void writeln(T x) { write(x); puts(""); }
template <typename T> inline bool chkmin(T &x, const T &y) { return y < x ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmax(T &x, const T &y) { return x < y ? x = y, 1 : 0; }typedef long long LL;const int maxn = 1e3 + 7;
const LL P = 998244353, G = 3, Gi = 332748118;inline LL qpow(LL x, LL k) {LL s = 1;for (; k; x = x * x % P, k >>= 1)if (k & 1) s = s * x % P;return s;
}inline void ntt(LL *A, int *r, int lim, int tp) {for (int i = 0; i < lim; ++i)if (i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);for (int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {LL wn = qpow(tp == 1 ? G : Gi, (P - 1) / (mid << 1));for (int j = 0; j < lim; j += mid << 1) {LL w = 1;for (int k = 0; k < mid; ++k, w = w * wn % P) {LL x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid] % P;A[j + k] = (x + y) % P;A[j + k + mid] = (x - y + P) % P;}}}if (tp == -1) {LL inv = qpow(lim, P - 2);for (int i = 0; i < lim; ++i)A[i] = A[i] * inv % P;}
}int a, b, c, d, n, mn, mx;
LL fac[maxn], ifac[maxn];
LL ha[maxn << 3], hb[maxn << 3], hc[maxn << 3], hd[maxn << 3];
int r[maxn << 3];inline LL g(int i) {std::copy(ifac, ifac + a - i + 1, ha);std::copy(ifac, ifac + b - i + 1, hb);std::copy(ifac, ifac + c - i + 1, hc);std::copy(ifac, ifac + d - i + 1, hd);int lim = 1, l = 0;while (lim <= a + b + c + d - 4 * i) lim <<= 1, ++l;for (int j = 0; j < lim; ++j)r[j] = (r[j >> 1] >> 1) | ((j & 1) << (l - 1));ntt(ha, r, lim, 1);ntt(hb, r, lim, 1);ntt(hc, r, lim, 1);ntt(hd, r, lim, 1);for (int j = 0; j < lim; ++j)ha[j] = ha[j] * hb[j] % P * hc[j] % P * hd[j] % P;ntt(ha, r, lim, -1);LL ret = ha[n - 4 * i];std::fill(ha, ha + lim, 0);std::fill(hb, hb + lim, 0);std::fill(hc, hc + lim, 0);std::fill(hd, hd + lim, 0);return ret;
}int main() {read(n, a, b, c, d);mn = std::min({a, b, c, d, n / 4});mx = std::max({a, b, c, d, n});fac[0] = ifac[0] = 1;for (int i = 1; i <= mx; ++i)fac[i] = fac[i - 1] * i % P;ifac[mx] = qpow(fac[mx], P - 2);for (int i = mx - 1; i; --i)ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % P;LL ans = 0;for (int i = 0; i <= mn; ++i) {LL sgn = i & 1 ? P - 1 : 1;LL res = sgn * fac[n - 3 * i] % P * ifac[i] % P * g(i) % P;ans = (ans + res) % P;}writeln((ans % P + P) % P);return 0;
}

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