康托尔定理是怎样证明的？
康托尔定理指的是什么？定理的内容很有兴趣，但是，定理的证明方法（所谓“三角线证明法”，Diagonal Method）却很独特，超出一般人的想象力。
康托尔定理是对于一般的任意集合A来说的，定理是说：给定任意集合A就怎么怎么样。集合A是抽象的集合，定理内容属于什么具体范畴很不好确定，看上去定理内容就有点“奇怪”。
我们把问题简化，康托尔定理断言：单位区间[0,1]中的数字不可计数（即“数”不过来）。也可以说，定理断定：区间[0,1]里面的数字比自然数（集合）还要多。
我们假定单位区间[0,1]中的数字可“数”，比如，采用十进位小数表示数字：0.23765...;0.3287646...;0.87243286...；......等等。这样不断枚举下去，是不是能够把区间[0,1]中的所有数字全部计数完毕？假定能够计数完毕，会不会导致什么逻辑矛盾？
模仿康托尔对角线证明方法（证明模板），我们用反证法。假定区间[0,1]可以“计数”，必然导致矛盾。我们将上述小数从上往下整齐排列成一个无限“方阵”，从左上角至右下角划一条对角线。在这条对角线上，每遇到一个整数，就随便改动一下换成另外一个整数值。由此定义出一个新的小数，很显然，它不可能与原有的任何一个小数相等。这就是说，如果能够“计数”完毕，那么，我们一定能够“造出“一个新的小数不在原有数字之列，于是，这就导致了矛盾，与原有假设不符。
康托尔定理说明了存在不同的”无限集“。在可数集与上述无限集之间还有没有”中间集“？康托尔说：没有了。这就是著名的康托尔”连续统假设“（CH）。在康托尔看来，从可数集到实数集是一个巨大的”飞越“。至今，在公理化集合论中，既不能证明“连续统假设”（CH）是正确的，也不能证明它是不正确的。世界上有两种”数学“：一种是康托尔数学，一种是非康托尔数学。
袁萌6月23日
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