指派问题是一种特殊的整数规划问题。有一定数量的任务和同等数量的人，每个人都可以完成任务，但花费的时间成本不同，所以需要找到一种指派方式，让总成本最低。这类问题建立的模型就是指派问题模型。

指派问题是0-1整数规划的一种，决策变量x_ij取1时，第i个人完成第j项工作，花费的成本是c_ij，否则决策变量x_ij取0。匈牙利解法是用来求解指派问题的常用方法。

十六、指派问题与求解

在一个实际的指派问题中，第i个人完成第j项任务时花费的成本是c_ij，那么n个人和n项任务一一组合，就会得到n²个成本，将其列成矩阵，就得到指派问题的系数矩阵：系数矩阵的一般形式，每一个元素都是成本数值

假设有4项工作等待4个人完成，系数矩阵就是4*4的，比如这样的系数矩阵：

这代表第一个人完成第一项工作的成本是1、完成第二项工作的成本是3，第二个人完成第一项工作的成本是2……等等。如果我们现在提出一个指派方案，如第一个人完成第一项工作，第二个人完成第二项工作，第三个人完成第三项工作，第四个人完成第四项工作，那就相当于提出了一个可行解：c_11=1，c_22=3，c_33=8，c_44=1

可以发现，为了使每一项工作都有人完成，取为1的四个变量必须位于不同行列。这种指派方案是可行的，但不是最优的，可以取到成本更低的方案，只需取x13=x22=x31=x44=1就能得到一组更优的解(12)。匈牙利解法就是用来获得最优解的方法。

下面以一道题作为例子，系数矩阵如下：这是一个五人完成五项任务的成本系数矩阵

匈牙利解法的第一步是，对系数矩阵进行化简。这里用到的原理是，如果一项工作的完成成本对于所有人都增加或者减少同一个数值，那么最优指派方案不变；如果一个人完成所有事的成本都增加或者减少同一个数值，最优指派方案仍不变。利用这一点，可以得知，让系数矩阵一行或一列中所有数同时减去一个数，不会改变最优解。所以我们可以先对系数矩阵每一行都减去行内最小值，再对每一列都减去列内最小值，这样，每一行每一列中一定含有0。注意，行和列的减法是分先后的。图中，标出了第一个矩阵中每行的最小值、第二个矩阵中每列的最小值，减完得到的第三个矩阵就是我们现在的系数矩阵，它的最优解与原来的系数矩阵一样。第一个矩阵中标红的是每一行中的最小值，第二个矩阵是第一个矩阵中每行都减去当行标红数得到的矩阵，标红的是每一列中的最小值，减去后得到第三个矩阵。

接下来的步骤是试解。显然如果有0，取0时成本肯定最低，因此，先找出不在同一行、列的零元素。这里，先找出在一行或一列中唯一的零元素圈起来(这里用○替代)，在圈的同时，将这一行与这一列的其他0元素用×替代，这样的0就不能再取了。比如这里，位于(1，1)的零元素是这一列中唯一的零，可以取之，同时第一行的另外两个0就用×替代。○代表取，×代表不取

同理，(2，3)的0是当行唯一，圈起来的同时将同一列的全部打×。需要注意的是，并不是仅当0是当行或当列唯一时才可以取，只是唯一时，能够让取到的0个数最多。以此类推对整个系数矩阵进行处理，得到试指派结果如下图。○代表取，×代表不取，所有0都被这两种符号替代

此时，所有的0元素，或是被圈起来或是被叉去，代表试指派结束了。圈起来的0就表示安排工作，但此时，安排的工作不到5个，也就是安排尚未完成，没有得到最优解。因此进入第三步——对系数矩阵的调整。调整是一个循环划线的过程，操作如下：

(1)因为圈起来的0的数量小于矩阵维数，所以肯定有至少一行没有被圈起来的0，在那一行旁边打√；

(2)打√的行中，对所有含×的列打√；

(3)打√的列中，对所有含○的行打√；

(4)重复2和3直到没有√可以再打。此时对所有没有√的行画一横线、对有√的列画一竖线，这样，就用最少数量的直线覆盖了所有0元素(○和×)，操作如下，这里打√用Ω代替，下标为打√的顺序，红色代表划线：\Omega代表打√，下标代表顺序，有三行和一列被划线

这时候，画出了四条线，这也是能够覆盖所有0元素的最小直线数量。如果直线数量等于矩阵维数，说明当前矩阵其实可以通过试指派达到最优解，只是前面的寻找过程出了问题，回去重新找即可；如果直线数量小于矩阵维数，那么当前矩阵就必须调整了。调整量就是没有被直线覆盖(图中黑色)的最小值，这里是2，将打√行中各元素减去这个值(注意打√行是没有被直线覆盖的)，打√列中各元素加上这个值。处理后得到新的指派系数矩阵

这样调整完以后的矩阵，最优解和原来的系数矩阵是一样的，但是这时候系数矩阵的0变多了，也更有利于试指派找出最优解，这时候很容易就可以得出最优解如下。○数量与矩阵维数相同，指派结束

以上就是指派问题的解法，是要成本最小化时的解法。当然，有时候给定的系数矩阵可能是效用矩阵，要效用最大化，这时只需要找到最大效用值，用它减去所有的当前效用，就得到了最小化问题，再用匈牙利解法即可。总结指派问题的解法，有以下几个步骤：

(1)定性，如果遇到最大值问题，就用系数矩阵中的最大值减去矩阵中所有元素，这样得到的新系数矩阵用匈牙利解法得到的解是最优解。

(2)简化，将此时的系数矩阵，每一行减去当行最小值得到中间矩阵，再将中间矩阵的每一列减去当列最小值得到简化矩阵，这样得到的简化矩阵最优解与原系数矩阵一致。

(3)试指派，尽可能多地圈出位于不同行、不同列的0元素，并将圈出的0同一行列的其他0元素用×替代，如果能圈出与矩阵维数相同的0元素数量，则得到最优解，否则进入调整。

(4)划线，此时先将没有○的行打√，再将打√行中×所在的列打√，再将打√列中○所在的行打√，如此循环直至没有√可打。这时将没有打√的行划线，将打√的列划线，数直线数。

(5)调整，如果直线数等于矩阵维数，则回到3重新试指派直到得出最优解；否则，将直线没有覆盖区域的最小值作为调整量，让打√行减去调整量，打√列加上调整量得到新的系数矩阵，再进行试指派。

至此，线性规划的内容结束，接下来进入动态规划。