向量正交与函数正交

1 向量内积和外积

1.1 向量内积(点乘)

1.2 向量外积(差乘)

2 向量的正交

3 函数的正交

4 函数正交的意义

1 向量内积和外积

1.1 向量内积(点乘)

假设 a = [a1,a2,...,an], b = [b1,b2,...,bn]；

则a与b的内积为 a·b = a1·b1+a2·b2+...+a3·b3 = |a||b|cosθ；

点成的结果是标量

几何意义：b向量在a向量方向上的投影

作用：用来证明两个向量是否正交。则表示，θ为90°（的奇数倍），即表示两个非零向量垂直（即正交）。

1.2 向量外积(差乘)

假设 a = [a1,a2,...,an], b = [b1,b2,...,bn]；对应单位向量是 [e1,e2,...,en];

则a与b的外积

大小： |a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b>.

方向：法向量。 根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心由a转向b的过程中，大拇指的方向是外积方向。（∴方向与乘积的顺序有关）

点成的结果是向量

几何意义：大小是以a、b为相邻边的平行四边形围成的面积；方向是法向量。

作用：用来证明两个向量是否平行。

2 向量的正交

正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。物理中：运动的独立性，也可以用正交来解释。[百度百科：正交]

向量正交

1、从几何上来理解

如果是零向量，它与任何向量正交。如果非零向量之间正交，则它们之间是垂直的，可以简单理解为向量之间的夹角为90°，或者其中一个向量在另一个向量上的投影长度为0（变成一个点）
2、从代数上来理解

所有同维向量构成一个向量空间，正交的向量之间，满足内积为0。简单来说，就是向量各分量之间相乘后相加，其计算结果为0

向量正交的用途：

对于不含零的正交向量组，我们可以将其扩充为一组正交基，这样向量空间中的所有向量，都可以用这组基来表示。更为特殊地，正交基，单位化后，得到标准正交基，然后向量空间中的所有向量都可以写成比较简单的坐标形式。

3 函数的正交

向量的内积

a = [a1,a2,...,an], b = [b1,b2,...,bn]；则a与b的内积为 a·b = a1·b1+a2·b2+...+a3·b3

相当于在基向量[e1,e2,...,en] 上求a与b乘积的求和。

函数的内积

（1）对应于函数 f(x) 的 a = (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ..., f(N))；

（2）对应于函数 g(x) 的 b = (g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), ..., g(N))；

*两者可以看作是以空间中的Δx为基的两组向量，任意两段Δx之间相互独立（无交叠），因此可看作一组正交基；

函数内积相当于对函数乘积进行积分： $\int f(x)g(x)dx=\sum f(x_{i})g(x^{_{i}})\Delta x$

*因此，积分上下限就相当于两个向量的长度。

所以函数在区间内乘积积分为0，可当作其在此区间内正交。

4 函数正交的意义

傅里叶变换中，

积分号内部本质上就是在积分区间上，用复数项对函数f(t)提取。

快速傅里叶变换中也用到了相关概念，请参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/40505277

参考：

https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

https://blog.csdn.net/eloudy/article/details/56489400

http://www.360doc.com/content/16/1231/10/5399905_619057239.shtml