线性代数：03 向量空间 -- 向量的内积和正交阵

本讲义是自己上课所用幻灯片，里面没有详细的推导过程（笔者板书推导）只以大纲的方式来展示课上的内容，以方便大家下来复习。

本章主要介绍向量空间的知识，与前两章一样本章也可以通过研究解线性方程组的解把所有知识点串联起来，比如研究齐次线性方程组的解可以得到线性相关、线性无关、零空间、解空间的基（基础解系）、解空间的维数、秩定理等概念。研究非齐次线性方程组的解可以得到线性组合、线性表示、列空间、一个向量组可由另一个向量组线性表示、两个向量组等价等概念。若一个向量不在矩阵的列空间当中，即这个向量不能由一组向量线性表示，可以通过正交投影定理得到最小二乘解，而QR分解是求最小二乘解的一种有效途径。本章的核心是向量空间的概念，通过向量空间的同构，可以把其它的向量空间同构到RnR^nRn空间，为了表达坐标的方便，我们通常会选择标准正交基，作为该空间的基。本章相对前两章就有一些难度了，希望大家好好复习，把基本概念和方法搞明白。

推荐两个学习线性代数的资源：

1. 麻省理工公开课 Linear Algebra

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相较于国内老师从行列式入手，MIT老师从几何空间的角度，更加直观揭示线代的内核。

2. 线性代数的本质

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通过直观的动画演示来理解线性代数的大部分核心概念。

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