金鸡一唱天下白：第九讲 根轨迹法​zhuanlan.zhihu.com自动化人 - 知乎​www.zhihu.com

概述

频域(频率响应)分析法是研究控制系统的一种工程方法，典控制理论最重要、最主要的分析方法。应用系统的频率特性可以间接地分析系统的动态性能和稳态性能。

频域分析法的突出优点是可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、图表及经验公式。

关键概念

频率特性是系统的一种数学模型；频率特性的三种图形：幅相频率特性曲线(又称极坐标或Nyquist曲线)，对数频率特性曲线(又称Bode图)，对数幅相频率特性曲线(又称Nichols曲线)。

最小相位系统的幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕量和幅值裕量来反映系统的相对稳定性。利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。

时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。

频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。

频域分析法的特点是可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能(稳定性、稳定裕度及动态性能)，并能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。此外，除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。但是，在一定条件下，这种方法也可以推广应用到非线性系统中。

一、频率特性

1.频率特性概述

设线性定常系统输入信号为r(t)，输出信号c(t)，如图所示。

图中，G(s)为系统的传递函数。

定义 线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω)

频率特性与传递函数的关系：上述结论对一般的线性定常系统都成立。可扩展用于不稳定系统。

需要指出，当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减(或放大)特性；

相频特性表示系统在不同频率正弦信号作用下稳态输出的相位移；

已知系统的传递函数，令 s=jω，可得系统的频率特性(无论稳定与否)；

频率特性虽然表达的是频率响应的稳态特性，但包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质；频率从0→∞的稳态特性反映了系统的全部动态性能。

2. 频率特性的求取

由频率特性概念知，频率特性G(jω)是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换成纯虚数jω就得到系统的频率特性。

G(jω)=G(s) |s=jω (5-12)

3. 频域性能指标

频率特性在数值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动静态特性。

系统的频率特性曲线如图5-3所示。

1. 谐振频率 是幅频特性A(ω)出现最大值时所对应的频率；

2. 谐振峰值 指幅频特性的最大值。 值大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量越大；

3. 频带 指幅频特性A(ω)的幅值衰减到起始值的0.707倍所对应的频率。 大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短；

4. A(0)指零频(ω=0)时的幅值。A(0)表示系统阶跃响应的终值，A(0)与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，A(0)越接近于1，系统的精度越高。

二、幅相频率特性

有三种频率特性曲线：幅相频率特性曲线(又称极坐标或Nyquist曲线)，对数频率特性曲线(又称Bode图)，对数幅相频率特性曲线(又称Nichols曲线)。

作为一种图解分析系统的方法，即极坐标图、对数坐标图，对数幅相图。

例子：试绘制惯性环节

的幅相频率特性曲线。

设

，则

另

所以有

以

为变量，计算

和

，描点后可得惯性环节的幅相频率特性图，实际是一个半圆。

考虑

，图像对称于实轴，为一个完整的圆形。

下面介绍开环系统极坐标图的绘制

1. 0型系统

例：绘制已知系统的极坐标图。

2. 1型系统

例：绘制已知系统的极坐标图。

对于1型系统，一定有ω→0+ 时，实部→有限值

3. 2型系统

例：绘制已知系统的极坐标图。

对于2型系统，一定有ω→0+ 时，实部和虚部都→∞

例：绘制已知系统的极坐标图。

三、乃奎斯特稳定判据

乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，是由H. Nyquist于1932年提出的 。这一判据是利用开环系统幅相频率特性(乃氏图)，来判断闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。

1、Nyquist稳定判据一

当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表示为：当ω从-∞→+∞变化时的Nyquist曲线G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳定。

由Nyquist曲线G(jω)H(jω) (ω从0→+∞)判别闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(jω)H(jω)曲线(ω：0→+∞)逆时针包围(-1，j0)的次数为

。

例3 已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。

解 系统开环稳定，即P=0，从图中看到ω由-∞→+∞变化时，G(jω) H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。

2、Nyquist稳定判据二

设系统开环传递函数为

式中 υ——开环传递函数中位于原点的极点个数。

Nyquist轨迹的修正如图所示，

它由四部分组成：

1) 以原点为圆心,以ε无限大为半径的大半圆；

2) 由-j∞到j0-的负虚轴；

3) 由j0+沿正虚轴到+j∞；

4) 以原点圆心，以 ε ( ε →0)为半径的从j0-到j0+的小半圆。

如果增补开环频率特性曲线G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)逆时针包围(-1，j0)点的次数 N 等于系统开环右极点个数 P，则闭环系统稳定,否则系统不稳定。

应用Nyquist稳定判据判别闭环系统的稳定性，就是看开环频率特性曲线对负实轴上(-1, -∞)区段的穿越情况。穿越伴随着相角增加故称之为正穿越，记作N+，穿越伴随着相角减小，称为负穿越，记作N-，如图所示。 由此，Nyquist判据可描述为：

当ω由-∞→+∞变化时，系统开环频率特性曲线在负实轴上(-1，-∞)区段的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差等于开环系统右极点个数P时，则闭环系统稳定。

7. 利用开环频率特性三频段概念可以分析系统时域响应的动态和稳态性能，并可分析系统参数对系统性能的影响。

8. 许多系统或元件的频率特性可用实验方法确定。最小相位系统的传递函数可由对数幅频特性的渐近线来确定。

9. 频域法分析采用了典型化、对数化、图表化等处理方法，已发展成为一种实用的工程方法，在工程实践中获得了广泛的应用。

四、闭环频域性能指标与时域性能指标的关系

1、对于二阶系统，其频域性能指标和时域性能指标之间有着严格的数学关系

2、谐振峰值Mr和时域超调量Mp之间的关系

由此可看出，谐振峰值Mr仅与阻尼比ζ有关，超调量Mp也仅取决于阻尼比ζ

l ζ越小，Mr增加的越快，这时超调量Mp也很大，超过40%，一般这样的系统不符和瞬态响应指标的要求

l 当0.4

l 当ζ >0.707时，无谐振峰值，Mr与Mp的对应关系不再存在，通常设计时，ζ取在0.4至0.7之间

3、谐振频率ωr 与峰值时间tp的关系

tp与 ωr之积为

由此可看出，当ζ为常数时，谐振频率ωr与峰值时间 tp成反比，ωr值愈大，tp愈小，表示系统时间响应愈快

4、闭环截止频率ωb 与过渡过程时间ts的关系

ωb与 ts之积为

由此可看出，当阻尼比 ζ给定后，闭环截止频率 ωb与过渡过程时间 ts成反比关系。换言之， ωb愈大(频带宽度0 - ωb愈宽)，系统的响应速度愈快。金鸡一唱天下白：第十一讲　系统的开环频率特性​zhuanlan.zhihu.com自动化人 - 知乎​www.zhihu.com

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参考

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