不同形式弧微分的求解

弧微分的求解

弧微分公式:

ds=1+y′2dxds=\sqrt{1+{y'}^2} dxds=1+y′2dx

利用弧微分公式利用弧微分公式利用弧微分公式
求解(x−1)2+y2=1在点（1+22,22)处的弧微分求解{(x-1)}^2+y^2=1在点（1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})处的弧微分求解(x−1)2+y2=1在点（1+22,22)处的弧微分

解：对隐函数(x−1)2+y2=1两边求导对隐函数{(x-1)}^2+y^2=1两边求导对隐函数(x−1)2+y2=1两边求导:
⇒y′=−x−1y\Rightarrow y'=-{{x-1}\over{y}} ⇒y′=−yx−1
∴ds=1+−(x−1y)2dx=\therefore ds=\sqrt{1+{-({{x-1}\over{y}}})^2}dx=∴ds=1+−(yx−1)2dx=2dx\sqrt 2dx2dx

将直角坐标系上的弧微分公式推到到参数方程中

{x=ψ(θ)y=ϕ(θ)\begin{cases} x=\psi_{(\theta)} \\ y=\phi_{(\theta)} \\ \end{cases}{x=ψ(θ)y=ϕ(θ) 的弧微分公式：ds=ψ(θ)′2+ϕ(θ)′2的弧微分公式：ds=\sqrt{{{\psi_{(\theta)}'}^2+{{\phi_{(\theta)}'}^2}}}的弧微分公式：ds=ψ(θ)′2+ϕ(θ)′2 d(θ)d_{(\theta)}d(θ)

利用参数方程弧微分公式利用参数方程弧微分公式利用参数方程弧微分公式
求解求解求解{x=cosθ+1y=sin⁡θ\begin{cases} x=cos{\theta}+1 \\ y=\sin{\theta} \\ \end{cases}{x=cosθ+1y=sinθ在θ=π4处的弧微分。在\theta={{\pi}\over{4}}处的弧微分。在θ=4π处的弧微分。

解：当θ=π4时解：当\theta={{\pi}\over{4}}时解：当θ=4π时

ds=ψ(θ)′2+ϕ(θ)′2ds=\sqrt{{{\psi_{(\theta)}'}^2+{{\phi_{(\theta)}'}^2}}}ds=ψ(θ)′2+ϕ(θ)′2 d(θ)d_{(\theta)}d(θ) =cosθ2+sinθ2\sqrt{{{cos{\theta}}^2+{{sin{\theta}}^2}}}cosθ2+sinθ2d(θ)d_{(\theta)}d(θ)=d(θ)d_{(\theta)}d(θ)

?????????【当利用直角坐标系的弧微分公式求解时，则出现了符号的变换问题】
解：对参数方程{x=cosθ+1y=sin⁡θ求导对参数方程\begin{cases} x=cos{\theta}+1 \\ y=\sin{\theta} \\ \end{cases}求导对参数方程{x=cosθ+1y=sinθ求导:
⇒\Rightarrow⇒ y′=cosθ−sinθ=−cotθy'=\frac{cos{\theta}}{-sin{\theta}}=-cot{\theta}y′=−sinθcosθ=−cotθ

ds=1+y′2dx=1+(−cotθ)2ds=\sqrt{1+{y'}^2} dx=\sqrt{1+{(-cot{\theta}})^2}ds=1+y′2dx=1+(−cotθ)2dx=1+(−cotθ)2(−sinθ)d(θ)\sqrt{1+{(-cot{\theta}})^2}(-sin{\theta})d_{(\theta)}1+(−cotθ)2(−sinθ)d(θ)

代入θ=π4，则，ds=−d(θ)代入\theta={{\pi}\over{4}}，则，ds=-d_{(\theta)}代入θ=4π，则，ds=−d(θ)

【这一点尚存疑】【这一点尚存疑】【这一点尚存疑】
按照教材的理解，因为ds与x是正相关，所以始终取正值，按照教材的理解，因为ds与x是正相关，所以始终取正值，按照教材的理解，因为ds与x是正相关，所以始终取正值，
但是放在参数方程中，ds与θ的关系却不能满足始终正相关但是放在参数方程中，ds与\theta 的关系却不能满足始终正相关但是放在参数方程中，ds与θ的关系却不能满足始终正相关
因此直接取正值还暂时无法合理解释因此直接取正值还暂时无法合理解释因此直接取正值还暂时无法合理解释

将直角坐标系上的弧微分公式推到到极坐标中

ρ=ρ(θ)的弧微分公式：ds=ρ2+ρ′2dθ\rho=\rho_{(\theta)}的弧微分公式：ds= \sqrt{\rho^2+{\rho}'^2}d\thetaρ=ρ(θ)的弧微分公式：ds=ρ2+ρ′2dθ

利用弧微分公式利用弧微分公式利用弧微分公式
求解曲线ρ=cos2θ在θ=π8的弧微分。求解曲线\rho=cos2\theta 在\theta=\frac{\pi}{8}的弧微分。求解曲线ρ=cos2θ在θ=8π的弧微分。
解：解：解：
法一：（直接带入极坐标求解弧微分的公式）：法一：（直接带入极坐标求解弧微分的公式）：法一：（直接带入极坐标求解弧微分的公式）：
ds=ρ2+ρ′2dθ=(cos2θ)2+(−2sin2θ)2dθ=102dθds= \sqrt{\rho^2+{\rho}'^2}d\theta=\sqrt{({cos2\theta})^2+({-{2sin2\theta}})^2}d\theta =\frac{\sqrt10}{2} d\thetads=ρ2+ρ′2dθ=(cos2θ)2+(−2sin2θ)2dθ=210dθ

法二：(将极坐标转化成参数方程进行求解)法二：(将极坐标转化成参数方程进行求解)法二：(将极坐标转化成参数方程进行求解)
原方程恒等于原方程恒等于原方程恒等于 {x=cos2θcosθy=cos2θsinθ\begin{cases} x=cos2\theta cos{\theta} \\ y=cos2\theta sin{\theta} \\ \end{cases}{x=cos2θcosθy=cos2θsinθ

ds=ψ(θ)′2+ϕ(θ)′2dθ=102dθds=\sqrt{{{\psi_{(\theta)}'}^2+{{\phi_{(\theta)}'}^2}}}d\theta=\frac{\sqrt10}{2}d\thetads=ψ(θ)′2+ϕ(θ)′2dθ=210dθ