【数学】B094_LC_旋转函数（F(k+1) 和 F(k) 错位相减+递推）

给定一个长度为 n 的整数数组 A，假设 Bk 是数组 A 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 A 的“旋转函数” F 为：

F ( k ) = 0 ∗ B k [ 0 ] + 1 ∗ B k [ 1 ] + . . . + ( n − 1 ) ∗ B k [ n − 1 ] F(k) = 0 * B_k[0] + 1 * B_k[1] + ... + (n-1) * B_k[n-1] F(k)=0∗Bk[0]+1∗Bk[1]+...+(n−1)∗Bk[n−1]

计算 F ( 0 ) , F ( 1 ) , . . . , F ( n − 1 ) F(0), F(1), ..., F(n-1) F(0),F(1),...,F(n−1) 中的最大值。

注意: 可以认为 n 的值小于 10^5

A = [4, 3, 2, 6]F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26

方法一：数学推导

思路

F(k) = 0 × B[0] + 1 × B[1] + 2 × B[2]… + (n-1) × B[n-1] … ①
F(k+1) = 0 × B[n-1] + 1 × B[0] + 2 × B[1] … + (n-1) × B[n-2] … ②

②-① 就是一个错位相减，结果为 ③：

F(k+1)-F(k) = B[0] + B[1] + B[2] + … + B[n-1] - n × B[n-1]
F(k+1)-F(k) = sum(B) - n × B[n-1]
F(k+1） = F[k] + sum(B) - n × B[n-1] … ③

由于 B 是旋转得到的，故每次求 F(k+1）时，末尾元素 A[n-1] 就变成了 A[n-2]

class Solution {public:int maxRotateFunction(vector<int>& A) {long n=A.size(), S=0, F1=0, F2=0;for (int i=0; i<n; i++) F1 += i*A[i], S+=A[i];long ans=F1;for (int i=1; i<n; i++) {F2 = F1 + S - n*A[n-i];ans=max(ans, F2);F1 = F2;}return ans;}
};

复杂度分析

Time： O ( n ) O(n) O(n)，
Space： O ( 1 ) O(1) O(1)

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