CodeForces - 626E Simple Skewness 结论+三分

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题意：

给定一个n个数序列，选取一些数，使得这些数的平均数减中位数尽可能大。如有多个结果，随意输出一个。

思路：

首先先上神结论:

要想使平均数-中位数尽可能的大,则选择的数的个数一定为奇数个,偶数个一定不会比他更优.

不太对的证明？

先进行排序
选数时有两种情况，奇数个和偶数个，分别来看，设：

奇数时 u是平均数， n个数， x1是中位数
偶数时 ((n*u)+x2)/(n+1)平均数 ,n+1个数， (x1+x2)/2 是中位数
平均数大于中位数 u>x1，偶变奇时平均数的变化量：(x2-u)/(n+1) ，中位数变化量：（x2-x1)/2 ，

中位数的变化量大于平均数的变化量。
所以当选偶数个时我们舍弃掉中位数中较大的一个，所得的结果一定比选偶数个优，所以一定选择奇数个数。

PS ：

我们知道选数的个数一定为奇数个之后,就要考虑要怎么求了.

首先可以考虑,当选出的数的个数很少,则平均值-中位数越来越小,当选取的数很多的时候平均-中位数也越来越小.

那么二者中间一定存在某个位置有极大值.这就满足了三分的性质,题目也正好要让我们求最大的.所以可以考虑三分.

三分的话,我们还是三分区间然后check.我们枚举每个数来当中位数,然后求平均数.中位数确定了所以我们要让平均值尽量打,那么在中位数左面的数应该尽可能选择靠近中位数的数,在中位数右边的数应该选择尽可能原理中位数的数,以此来求平均值.这个过程可以考虑维护一个前缀和来得到,因为除法会有精度损失,所以我们把最后结果都乘上一个数的个数,转化为整数来做.剩下的就很简单了.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=2e5+10;ll sum[maxn],a[maxn];
int n;
ll cal(int len,int pos)
{ll res = sum[n] - sum[n-len]+sum[pos]-sum[pos-len-1];return res;
}
int main()
{while(~scanf("%d",&n)){sum[0] = 0;ll len = 0,mid = 1,mm = 0;for(int i = 1;i <=n ;i++)scanf("%lld",&a[i]);sort(a+1,a+1+n);for(int i = 1;i <=n ;i++)sum[i] = sum[i-1]+a[i];for(int i = 2;i <=n-1;i++){int l=0,r=min(i-1,n-i),lmid,rmid;while(l<=r){lmid = l + (r-l)/3;rmid = r - (r-l)/3;ll s1 = cal(lmid,i);ll s2 = cal(rmid,i);if(s1*(2*rmid+1) < s2*(2*lmid +1))l = lmid + 1;elser = rmid - 1;}ll res = cal(l,i) - (2*l+1)*a[i];if(res*(2*len+1)>mm*(2*l+1)){mm = res;len = l;mid = i; }}printf("%lld\n",2*len+1);for(int i = mid-len;i <= mid;i++)printf("%lld ",a[i]);for(int i = n-len +1;i <= n;i++)printf("%lld ",a[i]);puts("");}return 0;
}

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