村村通工程（Prim算法）

题目描述

思路分析

AC代码

题目描述

"村村通"是国家一个系统工程，其包涵有：公路、电力、生活和饮用水、电话网、有线电视网、互联网等等。

村村通公路工程，是国家为构建和谐社会，支持新农村建设的一项重大举措，是一项民心工程。又称“五年千亿元”工程

该工程是指中国力争在5年时间实现所有村庄通沥青路或水泥路，以打破农村经济发展的交通瓶颈，解决9亿农民的出行难题。

现有村落间道路的统计数据表中，列出了有可能建设成标准公路的若干条道路的成本，求使每个村落都有公路连通所需要的最低成本。

要求用Prim算法求解

输入

第1行：顶点数n

第2行：n个顶点编号

第3行：边数m

接着m行：m条边信息，格式为：顶点1 顶点2 权值

最后一行：Prim算法的起点v

输出

第1行：输出最小生成树的权值之和

接着n-1行对应n-1条边信息

按树的生长顺序输出

输入样例1

6
v1 v2 v3 v4 v5 v6
10
v1 v2 6
v1 v3 1
v1 v4 5
v2 v3 5
v2 v5 3
v3 v4 5
v3 v5 6
v3 v6 4
v4 v6 2
v5 v6 6
v1

输出样例1

15
v1 v3 1
v3 v6 4
v6 v4 2
v3 v2 5
v2 v5 3

思路分析

Prim算法的思想如下：

选择一个起始顶点作为初始集合，可以是任意一个顶点。
将该起始顶点加入到最小生成树的顶点集合中。
从已加入最小生成树的顶点集合中，选择一个顶点u，将与顶点u相连且权值最小的边（u, v）加入到候选边集合。
从候选边集合中选择权值最小的边（u, v），将顶点v加入到最小生成树的顶点集合中，同时将边（u, v）加入到最小生成树的边集合中。
重复步骤3和步骤4，直到最小生成树包含图中的所有顶点为止。

通过这种方式，Prim算法逐渐扩展最小生成树的顶点集合，保证每一步都选择了与已加入顶点集合具有最小权值的边。最终得到的最小生成树是以起始顶点为根节点的一棵树，并且总权值最小。

需要注意的是，Prim算法的实现通常需要使用优先队列（最小堆）来高效地选择权值最小的边。

AC代码

#include<iostream>
#include<vector>using namespace std;
const int MaxLength = 100;
struct Vertex {int index;string data;
} vertex[MaxLength];struct Close {int adjacent;int cost = 0x3f3f3f3f;
} close[MaxLength];
struct Path {int head;int tail;
};class Map {int matrix[MaxLength][MaxLength] = {0};int vertexNumber;int sumCost = 0;vector<Path> path;
public:Map() {cin >> vertexNumber;for (int i = 0; i < vertexNumber; i++) {cin >> vertex[i].data;vertex[i].index = i;}int edgeNumber;cin >> edgeNumber;for (int i = 0; i < edgeNumber; i++) {string tail, head;int cost;cin >> tail >> head >> cost;matrix[GetIndex(tail)][GetIndex(head)] = matrix[GetIndex(head)][GetIndex(tail)] = cost;}string start;cin >> start;Prim(GetIndex(start));}int GetIndex(string &data) {for (int i = 0; i < vertexNumber; i++)if (vertex[i].data == data)return i;}void Prim(int start) {for (int i = 0; i < vertexNumber; i++)if (matrix[start][i])close[i] = {start, matrix[start][i]};else close[i].adjacent = start;close[start].cost = 0;for (int i = 1; i < vertexNumber; i++) {int minCost = 0x3f3f3f3f, next;for (int j = 0; j < vertexNumber; j++)if (minCost > close[j].cost && close[j].cost) {minCost = close[j].cost;next = j;}close[next].cost = 0;Path pass = {close[next].adjacent, next};path.push_back(pass);sumCost += minCost;for (int j = 0; j < vertexNumber; j++)if (close[j].cost > matrix[next][j] && matrix[next][j])close[j] = {next, matrix[next][j]};}cout << sumCost << endl;for (auto &it: path)cout << vertex[it.head].data << ' ' << vertex[it.tail].data << ' ' << matrix[it.head][it.tail] << endl;}
};int main() {Map test;
}