浅谈概率论——三门问题和酒鬼问题的矛盾与联系

前言

关于三门问题和酒鬼问题的矛盾与联系，其实是一个很巨的同学问我，我才开始思考这个问题。我与机房里的大佬们轮番舌战，最后才发现了问题的完美解释。

三门问题

三门问题，也叫蒙提霍尔问题，是一个经典的概率学问题。原题如下：有三扇门，两扇门后面是羊，一扇门后面是车。你随机选择了一扇门，然后主持人在剩下的两扇门中打开了一扇门，后面是羊。然后问你的这扇门后面是车的概率是多少。

正确解法

一开始选到黑球的概率就是 1 3 \frac{1}{3} 31。主持人给你展示了一扇门后面是羊，这个操作肯定能做到，就和他打了你一拳是一样的，对你选择的球是黑球的概率毫无影响。所以答案是 1 3 \frac{1}{3} 31。

酒鬼问题

这也是一个经典的概率学问题。原题如下：有一个酒鬼，每天晚上有90%的概率出来喝酒，而他如果出来喝酒的话，将会等概率地去三个酒馆。警察要找这个酒鬼，找了两个酒鬼都没有找到他，问他在第三个酒馆的概率是多少。但在本篇文章中，讨论他在家中的概率是多少。

错误解法

酒鬼出门的概率是90%，所以在家的概率是10%。那么排除了两个酒馆，这两个酒馆的概率加在了第三个酒馆上。所以在家里的概率还是10%。

正确解法

一开始，在第三个酒馆的概率是30%，在家的概率是10%。排除两个酒馆后，问题的样本容量就发生变化了，在家里的概率就是 10 % 10 % + 30 % = 25 % \frac{10\%}{10\%+30\%}=25\% 10%+30%10%=25%。所以答案是25%。

两个问题的矛盾

在三门问题中，排除了一个门，这个门的概率加到了剩下的一个门上；酒鬼问题中，排除了两个酒馆，这些概率却没有加到第三个酒馆上。这是为什么呢？

两个问题的联系

上面的矛盾是完全正确的，那这里要解释这个矛盾。
三门问题用我自己的语言概括一下：有三颗球，两颗白的，一颗黑的，你等概率地选择了一个球，然后另一个人给你展示了剩下的两个球中有一个是白的，问你一开始选到黑球的概率是多少。
酒鬼问题用我自己的语言概括一下（忽略掉概率的不等）：有三颗球，两颗白的，一颗黑的，白的球编号为1和2。你等概率地选择了一个球，然后另一个人给你展示1号白球没有被选。问你选到黑球的概率是多少。
有没有发现它们的区别？一个在剩下的两个球中挑一个白球展示给你看，一个是给你看某颗球有没有被选。那么它们的答案自然也就不同了。三门问题，排除了一颗白球，这颗球是黑球的概率自然应该加到剩下的那颗球上，因为所有的球相当于被分成了两个集合，一个集合是被选的球，一个集合剩下的球，而每个集合的总概率是在你选完就已经确定下来了。所以每排除一个球，剩下的那些球的概率都会变大。而在酒鬼问题中，相当于把1号白球拿开，不让你选，所以你选到其它每个球的概率都是平均的。你如果继续排除掉一个固定编号的球，还是相当于一开始这颗小球就不存在。
现在公布上面两个问题的答案。三门问题模型的答案是 1 3 \frac{1}{3} 31，酒鬼问题模型的答案是 1 2 \frac{1}{2} 21。

总结

概率是个很神奇又很有趣的东西，一些显而易见的东西却可能不是正确的。多思考，才能发现问题的本质和真谛。