多元函数第八：连通性

定义： 设 S 0 S_0 S0是一个拓扑空间。我们说集合 S ⊂ S 0 S\subset S_0 S⊂S0是非连通的（disconnected），如果存在相对于 S S S的开集A和B使得 S = A ∪ B S=A\cup B S=A∪B 且 A ∩ B = ∅ A\cap B=\emptyset A∩B=∅。如果 S S S不是非连通的，则称 S S S是连通的（connected）。

如果 S 0 S_0 S0是连通的，我们称 S 0 S_0 S0是连通的拓扑空间。

例. 设 S 0 = R S_0=\mathbb{R} S0=R是实数拓扑空间。那么，集合 S = [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , 3 ] S=[0,1]\cup[2, 3] S=[0,1]∪[2,3]是非连通的。为了说明这点，考虑到A=[0, 1]和B=[2, 3]。由于 A = ( − 1 , 3 / 2 ) ∩ S A=(-1, 3/2)\cap S A=(−1,3/2)∩S，因此A是相对于S的开集。同理，B也是相对于S的开集。又因为A与B显然不交，故S是非连通的。

由连通性，可以给出区间的严格定义。

定义我们说 R \mathbb{R} R上的集合J是一个区间，如果对任意的 x , y ∈ J , x < y x, y\in J, x< y x,y∈J,x<y有 [ x , y ] ⊂ J [x,y]\subset J [x,y]⊂J。

注意根据上面的定义，单点集也是一个区间。

命题对于 R \mathbb{R} R上的子集S，它是连通集当且仅当它是一个区间。

证明. 充分性。若S是一个区间，但它不连通。那么S可以表示成 S = ( A ′ ∩ S ) ∪ ( B ′ ∩ S ) S=(A'\cap S) \cup (B'\cap S) S=(A′∩S)∪(B′∩S)，其中 A ′ A' A′和 B ′ B' B′是 R \mathbb{R} R上的开集，且 ( A ′ ∩ S ) ∩ ( B ′ ∩ S ) = ∅ (A' \cap S) \cap (B' \cap S)=\emptyset (A′∩S)∩(B′∩S)=∅。
记 x 1 ∈ A ′ ∩ S x_1\in A'\cap S x1∈A′∩S, x 2 ∈ B ′ ∩ S x_2\in B'\cap S x2∈B′∩S，并不失一般性地假设 x 1 < x 2 x1 < x2 x1<x2。由于S是区间，故而 [ x 1 , x 2 ] ⊂ S [x1, x2]\subset S [x1,x2]⊂S。
另外，由于 A ′ A' A′是开集，故存在 δ 1 > 0 \delta_1 > 0 δ1>0使得 [ x 1 , x 1 + δ 1 ) ⊂ A ′ ∩ S [x_1, x_1+\delta_1) \subset A'\cap S [x1,x1+δ1)⊂A′∩S。记 y = sup ⁡ { x > x 1 : [ x 1 , x ) ⊆ A ′ ∩ S } y=\sup\{x > x_1: [x_1, x) \subseteq A'\cap S\} y=sup{x>x1:[x1,x)⊆A′∩S}。由于 y ∈ [ x 1 , x 2 ] y\in[x_1, x_2] y∈[x1,x2]，故它必然属于 A ′ ∩ S A'\cap S A′∩S或 B ′ ∩ S B'\cap S B′∩S之一。若 y ∈ A ′ y\in A' y∈A′，那么存在 δ > 0 \delta>0 δ>0，使得 [ y , y + δ ) ⊆ A ′ [y, y+\delta) \subseteq A' [y,y+δ)⊆A′，这与y的定义矛盾（因为此时 sup ⁡ { x > x 1 : [ x 1 , x ) ⊆ A ′ ∩ S } ≥ y + δ \sup\{x > x_1: [x_1, x) \subseteq A'\cap S\} \geq y+\delta sup{x>x1:[x1,x)⊆A′∩S}≥y+δ ）。若 y ∈ B ′ y\in B' y∈B′，那么存在 δ > 0 \delta>0 δ>0使得 ( y − δ , y ] ∈ B ′ (y-\delta, y]\in B' (y−δ,y]∈B′，这也与y的定义矛盾（因为此时 sup ⁡ { x > x 1 : [ x 1 , x ) ⊆ A ′ ∩ S } ≤ y − δ \sup\{x > x_1: [x_1, x) \subseteq A'\cap S\} \leq y-\delta sup{x>x1:[x1,x)⊆A′∩S}≤y−δ ）。
综上可知，S是连通的。

必要性。若S是连通集，但不是区间。那么存在 x 1 < y < x 2 x_1 < y < x_2 x1<y<x2使得 x 1 , x 2 ∈ S x_1, x_2\in S x1,x2∈S 但是 y ∉ S y \notin S y∈/S。此时，令 A = ( − ∞ , y ) ∩ S ， B = ( y , ∞ ) ∩ S A=(-\infty, y)\cap S，B=(y, \infty)\cap S A=(−∞,y)∩S，B=(y,∞)∩S，便有 S = A ∪ B , A ∩ B = ∅ S=A\cup B, A\cap B=\emptyset S=A∪B,A∩B=∅。这与 S S S是连通集的假设矛盾。故 S S S是一个区间。

证毕。

由 R \mathbb{R} R上连通集和区间的等价性，我们可以证明连续函数的中值定理。为此，首先需要下面的定理。

定理若 S S S是 R \mathbb{R} R上的连通集，且 f f f是 S S S上的连续函数，那么 f ( S ) f(S) f(S)也是连通集。

证明. 若 T = f ( S ) T=f(S) T=f(S)不是连通集，那么存在相对于 T T T的开集 A A A和 B B B使得 A ∩ B = ∅ A\cap B=\emptyset A∩B=∅且 A ∪ B = T A\cup B= T A∪B=T。由于 f f f是相对于 S S S连续的，因此 f − 1 ( A ) f^{-1}(A) f−1(A)和 f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f−1(B)都是相对于 S S S的开集，且 S = f − 1 ( A ) ∪ f − 1 ( B ) , f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) = ∅ S=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B), f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\emptyset S=f−1(A)∪f−1(B),f−1(A)∩f−1(B)=∅。于是 S S S是非连通的，故而矛盾。证毕。

注意：上面的定理，用到了相对拓扑上的连续函数的概念。这个概念，是欧式空间连续函数的概念的推广。我们 f : S ↦ T f: S \mapsto T f:S↦T是拓扑空间S到拓扑空间T上的连续函数，如果f把S上的开集映射成T上的开集。

推论（中值定理） 如果S是一个连通集， f f f是 S S S上的实值连续函数，那么 f ( S ) f(S) f(S)是一个区间。

证明略。

注意：由上可知，若f是 S S S上的实值连续函数，存在 y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) y1=f(x1),y2=f(x2)使得 y 1 < y 2 y_1 < y_2 y1<y2。那么，对任意 y ∈ [ y 1 , y 2 ] y\in [y_1, y_2] y∈[y1,y2]都存在 x ∈ S x\in S x∈S使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)。

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