leetcode790.多米诺和托米诺平铺

题目大意

有两种形状的瓷砖：一种是 2x1 的多米诺形，另一种是形如 “L” 的托米诺形。两种形状都可以旋转。

XX  <- 多米诺XX  <- "L" 托米诺
X

给定 N 的值，有多少种方法可以平铺 2 x N 的面板？返回值 mod 10^9 + 7。

（平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。）

示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
下面列出了五种不同的方法，不同字母代表不同瓷砖：
XYZ XXZ XYY XXY XYY
XYZ YYZ XZZ XYY XXY

解题思路

寻找递推公式。
对于任意n来说，要想全部平铺：

f(n-1)全部平铺的情况下，加上一个2*1的块即可，1种方式；
f(n-2)全部平铺的情况下，加上两个横着的12块即可，一种方式（注意，这里不能加入两个竖着的21块，因为当n-2完成后，如果加上一个竖着的块，那么n-1也全部平铺完成了，和f(n-1)就重复计算了，因此n-2时仅有一种方式）；
f(n-3)全部平铺的情况下，只能通过放置两个’L’块平铺，两个L块可以上下颠倒，因此有2种方式从f(n-3)平铺成f(n)。注意：如果放置一个21块，则相当于重复计算了f(n-2)，如果放置两个12块，则相当于重复计算了f(n-1)。
综上所述，我们在通过f(x)平铺f(n)时，x+1~n-1列不能有完成拼好的，否则就重复计算了。

因此：从f(x)平铺f(n)时，我们先放置一个L型块，然后x+1~n-1列全部用12的块填充，这样就会使得每一列都是错位的。填充完毕后，n-1列中有1个格子被填充了，另一个格子空着，同时第n列空着。此时再用另一个L块填充即可。（对这种方法上下翻转可以形成另一种方案，因此需要2）

递推公式为：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2*(f(n-3)+…+f(0))。另一方面f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+2*(f(n-4)+…+f(0))。将第二个公式带入第一个公式中，化简得到：f(n)=2*f(n-1)+f(n-3)。

注意：代码中可以仅通过几个变量来完成计算。

class Solution {public:int numTilings(int N) {if (N <= 1)return 1;if (N == 2)return 2;vector<int> dp(N + 1, 0);dp[0] = 1;dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <=N; ++i){dp[i] = (2 * dp[i - 1] % 1000000007 + dp[i - 3] % 1000000007) % 1000000007;}return dp.back();}
};

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