置换怎么表示成轮换

　　让我们暂时先放下上节笔记中循环群美丽的性质，来专心看看置换群吧。

　　不得不说，置换群只是群的表现形式之一，本身不具有特殊的性质。但是，由于置换群所含内容的广泛性，它可以和其余所有的群（只能是有限群）形成同构关系（即Cayley定理），因此，我们希望通过找到在这种类型的群的研究方法，从而使更多的群可以被研究。而这，便是我们研究置换群的目的所在。

　　好吧，让我们现在开始吧。

一、置换相关概念及表示

　　在讨论置换群之前，我们显然有必要先明确什么是置换。

1、定义

　　有限集S到自身的一一映射称为置换，一般用

表示。若

，我们称这样的置换为

次置换

。

　　显然，在

元集合

中，共有

个置换。

2、表示

　　对于

元集合

，为简便，我们将其看作

。那么，置换

可以表示为

。注意到，在上述的表示中，

的位置对于置换本身来说是无关紧要的，因此我们也可以将置换

表示为

，其中

。

　　注意到，置换

的本质是一个函数，那么我们可以将两个置换

复合，记作

，或

。

3、循环置换

　　我们称如下形式的置换为循环置换（轮换）：

简记为

，并称其

循环长度为

。

时，我们称之为

对换。

　　单位置换（恒等映射）也视为循环置换，并记为

或

。

　　如果两个循环置换

满足

，那么我们称这两个循环置换

不相交。同时，我们认为单位置换和任何循环置换不相交。显然，不相交的两循环置换满足交换律。（但不是所有满足交换律的置换都不相交）

4、性质

(1)任一置换都可以被唯一分解为不相交的循环置换的乘积。

可以采用归纳法，依次找出这些循环置换。

(2)任一置换都可以被分解为对换的乘积。

只需证明任一循环置换都可以被分解为对换的乘积。

5、奇置换和偶置换

　　如果一个置换等于偶数个对换的乘积，则我们称之为偶置换。否则我们称之为奇置换。显然，偶置换的逆序数为偶数，奇置换的逆序数为奇数。

二、置换群

1、对称群和交错群

　　对于

元有限集

，其元素总可以用

抽象表示。因此，我们在研究置换群时，通常假设

。

上的所有置换构成群，称为

级对称群，记作

。同时，

中所有偶置换在映射乘法下同样组成一个群，称为

级交错群，记为

。

　　显然，我们有

（我们就不考虑

的离谱情况了）

2、置换群

　　我们称

的子群为

次置换群。

3、凯莱(Cayley)定理

　　任意

阶群必同构于一个

次置换群。

证明：
　　设

为一个

阶群，

为

上所有置换构成的

次对称群。

　　对

，定义

为

。则易于验证

是

上的一个置换。记

，那么

。

　　下证

，即证

是一个群。

，

，

。所以

对复合运算封闭。

为一代数系统。又

，则

中

存在单位元。又

，故

中

存在逆元。于是

是一个群。

　　最后，我们证明

。

　　构造映射

满足

。则

为满射。又若

，则

。于是

为单射，从而

为双射。又显然

，即

保持运算。那么

为一同构映射，也即

。

　　证毕。

4、最小阶数的非交换群：三次对称群

　　三次对称群

是阶数最小的非交换群。其元素和运算表如下：

三次对称群的元素

三次对称群的运算表

　　我们以后关于非交换群的例子，很多需要借助

。

　　这一讲暂时先这么多吧。其实置换群的内容还几乎没有发掘，但最基本的概念已经覆盖完全了。关于置换群的内容，我可能在以后陆续补充。