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本系列文章为《机器学习实战》学习笔记，内容整理自书本，网络以及自己的理解，如有错误欢迎指正。

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1、线性回归

现有一数据集，其分布如下图所示，

通过观察发现可以通过一个线性方程去拟合这些数据点。可设直线方程为 y=wx. 其中w称为回归系数。那么现在的问题是，如何从一堆x和对应的y中确定w？一个常用的方法就是找出使误差最小的w。这里的误差是指预测y值和真实y值之间的差值，我们采用平方误差，写作：

用矩阵还可以写作：

 ，如果对w求导，得到

，令其等于零，解出w为：

注意此处公式包含对矩阵求逆，所以求解时需要先对矩阵是否可逆做出判断。以上求解w的过程也称为“普通最小二乘法”。

Python实现代码如下：

1 from numpy import *

2

3 defloadDataSet(fileName):4 '''导入数据'''

5 numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1

6 dataMat = []; labelMat =[]7 fr =open(fileName)8 for line infr.readlines():9 lineArr =[]10 curLine = line.strip().split('\t')11 for i inrange(numFeat):12 lineArr.append(float(curLine[i]))13 dataMat.append(lineArr)14 labelMat.append(float(curLine[-1]))15 returndataMat,labelMat16

17 defstandRegres(xArr,yArr):18 '''求回归系数'''

19 xMat = mat(xArr); yMat =mat(yArr).T20 xTx = xMat.T*xMat21 if linalg.det(xTx) == 0.0:#判断行列式是否为0

22 print("This matrix is singular, cannot do inverse")23 return

24 ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)#也可以用NumPy库的函数求解：ws=linalg.solve(xTx,xMat.T*yMatT)

25 returnws26

27 if __name__ == "__main__":28 '''线性回归'''

29 xArr,yArr=loadDataSet('ex0.txt')30 ws=standRegres(xArr,yArr)31 xMat=mat(xArr)32 yMat=mat(yArr)33 #预测值

34 yHat=xMat*ws35

36 #计算预测值和真实值得相关性

37 corrcoef(yHat.T,yMat)#0.986

38

39 #绘制数据集散点图和最佳拟合直线图

40 #创建图像并绘出原始的数据

41 importmatplotlib.pyplot as plt42 fig=plt.figure()43 ax=fig.add_subplot(111)44 ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0])45 #绘最佳拟合直线，需先要将点按照升序排列

46 xCopy=xMat.copy()47 xCopy.sort(0)48 yHat = xCopy*ws49 ax.plot(xCopy[:,1],yHat)50 plt.show()

几乎任一数据集都可以用上述方法建立模型，只是需要判断模型的好坏，计算预测值yHat和实际值yMat这两个序列的相关系数，可以查看它们的匹配程度。

2、局部加权线性回归

局部加权线性回归给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，用于解决线性回归可能出现的欠拟合现象。与ｋＮＮ法类似，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集，然后在这个子集上基于最小均分差来进行普通的回归。该算法解出回归系数的形式如下：

其中w是一个权重矩阵，通常采用核函数来对附近的点赋予权重，最常用的核函数是高斯核，如下：

这样就构建了一个只含对角元素的权重矩阵W并且点x与x(i)越近，w(i,i)将会越大，k值控制衰减速度，且k值越小被选用于训练回归模型的数据集越小。

Python实现代码：

1 def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):2 '''局部加权线性回归函数'''

3 xMat = mat(xArr); yMat =mat(yArr).T4 m =shape(xMat)[0]5 weights = mat(eye((m)))#创建对角矩阵

6 for j inrange(m):7 diffMat = testPoint -xMat[j,:]8 #高斯核计算权重

9 weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))10 xTx = xMat.T * (weights *xMat)11 if linalg.det(xTx) == 0.0:12 print("This matrix is singular, cannot do inverse")13 return

14 ws = xTx.I * (xMat.T * (weights *yMat))15 return testPoint *ws16

17 def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):18 '''为数据集中每个点调用lwlr()'''

19 m =shape(testArr)[0]20 yHat =zeros(m)21 for i inrange(m):22 yHat[i] =lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)23 returnyHat24

25 if __name__ == "__main__":26 '''局部加权线性回归'''

27 xArr,yArr=loadDataSet('ex0.txt')28 #拟合

29 yHat=lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.01)30 #绘图

31 xMat=mat(xArr)32 yMat=mat(yArr)33 srtInd = xMat[:,1].argsort(0)34 xSort=xMat[srtInd][:,0,:]35 importmatplotlib.pyplot as plt36 fig=plt.figure()37 ax=fig.add_subplot(111)38 ax.plot(xSort[:,1],yHat[srtInd])39 ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0],s=2,c='red')40 plt.show()

k取0.01的结果

实际上，对k取不同值时有如下结果：

3、岭回归

如果数据的特征比样本点多(n>m)，也就是说输入数据的矩阵x不是满秩矩阵。而非满秩矩阵在求逆时会出错，所以此时不能使用之前的线性回归方法。为解决这个问题，统计学家引入了岭回归的概念。

简单来说，岭回归就是在矩阵xTx上加一个λI从而使得矩阵非奇异，进而能对 xTx+λI 求逆，其中I是一个mxm的单位矩阵。在这种情况下，回归系数的计算公式将变成：

这里通过引入λ来限制了所有w之和，通过引入该惩罚项，能减少不重要的参数，这个技术在统计学中也叫缩减。

Python实现代码：

1 def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):2 '''计算岭回归系数'''

3 xTx = xMat.T*xMat4 denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam5 if linalg.det(denom) == 0.0:6 print("This matrix is singular, cannot do inverse")7 return

8 ws = denom.I * (xMat.T*yMat)9 returnws10

11 defridgeTest(xArr,yArr):12 '''用于在一组lambda上测试结果'''

13 xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T14 yMean =mean(yMat,0)15 yMat = yMat - yMean #数据标准化

16 xMeans =mean(xMat,0)17 xVar =var(xMat,0)18 xMat = (xMat - xMeans)/xVar #所有特征减去各自的均值并除以方差

19 numTestPts = 30 #取30个不同的lambda调用函数

20 wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))21 for i inrange(numTestPts):22 ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))23 wMat[i,:]=ws.T24 returnwMat25

26 if __name__ == "__main__":27 '''岭回归'''

28 abX,abY=loadDataSet('abalone.txt')29 ridgeWeights = ridgeTest(abX,abY)#得到30组回归系数

30 #缩减效果图

31 importmatplotlib.pyplot as plt32 fig=plt.figure()33 ax=fig.add_subplot(111)34 ax.plot(ridgeWeights)35 plt.show()

运行之后得到下图，横轴表示第i组数据，纵轴表示该组数据对应的回归系数值。从程序中可以看出lambda的取值为 exp(i-10) 其中i=0~29。所以结果图的最左边，即λ最小时，可以得到所有系数的原始值(与线性回归一致)；而在右边，系数全部缩减为0；在中间部分的某些值可以取得最好的预测效果。

4、前向逐步回归

前向逐步回归算法属于一种贪心算法，即每一步尽可能减少误差。一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策是对某个权重增加或减少一个很小的值。

该算法伪代码如下所示：

Python实现代码：

1 defregularize(xMat):2 '''数据标准化函数'''

3 inMat =xMat.copy()4 inMeans =mean(inMat,0)5 inVar =var(inMat,0)6 inMat = (inMat - inMeans)/inVar7 returninMat8

9 defrssError(yArr,yHatArr):10 '''计算均方误差大小'''

11 return ((yArr-yHatArr)**2).sum()12

13 def stageWise(xArr,yArr,eps=0.01,numIt=100):14 '''

15 逐步线性回归算法16 eps：表示每次迭代需要调整的步长17 '''

18 xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T19 yMean =mean(yMat,0)20 yMat = yMat -yMean21 xMat =regularize(xMat)22 m,n=shape(xMat)23 returnMat = zeros((numIt,n)) #testing code remove

24 #为了实现贪心算法建立ws的两份副本

25 ws = zeros((n,1)); wsTest = ws.copy(); wsMax =ws.copy()26 for i inrange(numIt):27 print(ws.T)28 lowestError =inf;29 for j in range(n):#对每个特征

30 for sign in [-1,1]:#分别计算增加或减少该特征对误差的影响

31 wsTest =ws.copy()32 wsTest[j] += eps*sign33 yTest = xMat*wsTest34 rssE =rssError(yMat.A,yTest.A)35 #取最小误差

36 if rssE <37 lowesterror="rssE38" wsmax="wsTest39" ws="wsMax.copy()40" returnmat returnreturnmat42>

43 if __name__ == "__main__":44 '''前向逐步线性回归'''

45 abX,abY=loadDataSet('abalone.txt')46 stageWise(abX,abY,0.01,200)

运行结果如下：

上述结果中值得注意的是w1和w6都是0，这表明它们不对目标值造成任何影响，也就是说这些特征很可能是不需要的。另外，第一个权重在0.04和0.05之间来回震荡，这是因为步长eps太大的缘故，一段时间后系数就已经饱和并在特定值之间来回震荡。

5、实例：预测乐高玩具套装的价格

5.1 收集数据

原书介绍了从Google上在线获取数据的方式，但是经测试该网址已经不可用，此处采用从离线网页中爬取的方式收集数据。实现代码如下：

1 defsetDataCollect(retX, retY):2 '''数据获取方式一(不可用)'''

3 #searchForSet(retX, retY, 8288, 2006, 800, 49.99)

4 #searchForSet(retX, retY, 10030, 2002, 3096, 269.99)

5 #searchForSet(retX, retY, 10179, 2007, 5195, 499.99)

6 #searchForSet(retX, retY, 10181, 2007, 3428, 199.99)

7 #searchForSet(retX, retY, 10189, 2008, 5922, 299.99)

8 #searchForSet(retX, retY, 10196, 2009, 3263, 249.99)

9 '''数据获取方式二'''

10 scrapePage("setHtml/lego8288.html","data/lego8288.txt",2006, 800, 49.99)11 scrapePage("setHtml/lego10030.html","data/lego10030.txt", 2002, 3096, 269.99)12 scrapePage("setHtml/lego10179.html","data/lego10179.txt", 2007, 5195, 499.99)13 scrapePage("setHtml/lego10181.html","data/lego10181.txt", 2007, 3428, 199.99)14 scrapePage("setHtml/lego10189.html","data/lego10189.txt", 2008, 5922, 299.99)15 scrapePage("setHtml/lego10196.html","data/lego10196.txt", 2009, 3263, 249.99)16

17 defscrapePage(inFile,outFile,yr,numPce,origPrc):18 from bs4 importBeautifulSoup19 fr = open(inFile,'r',encoding= 'utf8'); fw=open(outFile,'a') #a is append mode writing

20 soup =BeautifulSoup(fr.read())21 i=1

22 currentRow = soup.findAll('table', r="%d" %i)23 while(len(currentRow)!=0):24 title = currentRow[0].findAll('a')[1].text25 lwrTitle =title.lower()26 if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):27 newFlag = 1.0

28 else:29 newFlag = 0.0

30 soldUnicde = currentRow[0].findAll('td')[3].findAll('span')31 if len(soldUnicde)==0:32 print("item #%d did not sell" %i)33 else:34 soldPrice = currentRow[0].findAll('td')[4]35 priceStr =soldPrice.text36 priceStr = priceStr.replace('$','') #strips out $

37 priceStr = priceStr.replace(',','') #strips out ,

38 if len(soldPrice)>1:39 priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '') #strips out Free Shipping

40 print("%s\t%d\t%s" %(priceStr,newFlag,title))41 fw.write("%d\t%d\t%d\t%f\t%s\n" %(yr,numPce,newFlag,origPrc,priceStr))42 i += 1

43 currentRow = soup.findAll('table', r="%d" %i)44 fw.close()45

46 if __name__ == "__main__":47 '''乐高玩具价格预测'''

48　　　#爬取数据49　　　setDataCollect()

50 #读取数据，这里已将以上方式获取到的数据文本整合成为一个文件即legoAllData.txt

51 xmat,ymat = loadDataSet("data/legoAllData.txt")

5.2 训练算法

首先我们用普通的线性回归模型拟合数据看效果，拟合之前需要先添加对应常数项的特征X0

1 if __name__ == "__main__":2 '''乐高玩具价格预测'''

3 #爬取数据

4 #setDataCollect()

5 #读取数据，这里已将以上方式获取到的数据文本整合成为一个文件即legoAllData.txt

6 #xMat,yMat = loadDataSet("data/legoAllData.txt")

7 #添加对应常数项的特征X0(X0=1)

8 lgX=mat(ones((76,5)))9 lgX[:,1:5]=mat(xmat)10 lgY=mat(ymat).T11

12 #用标准回归方程拟合

13 ws1=standRegres(lgX,mat(ymat)) #求标准回归系数

14 yHat = lgX*ws1 #预测值

15 err1 = rssError(lgY.A,yHat.A) #计算平方误差

16 cor1 = corrcoef(yHat.T,lgY.T) #计算预测值和真实值得相关性

测试结果为相关性cor1：0.7922，平方误差和err1：3552526，显然拟合效果还可以进一步提升。

接下来我们用交叉验证测试岭回归：

1 def crossValidation(xArr,yArr,numVal=10):2 '''

3 交叉验证测试岭回归4 numVal:交叉验证次数5 '''

6 m =len(yArr)7 indexList =list(range(m))8 errorMat = zeros((numVal,30))9 for i inrange(numVal):10 trainX=[]; trainY=[]11 testX = []; testY =[]12 random.shuffle(indexList)#打乱顺序

13 for j in range(m):#构建训练和测试数据，10%用于测试

14 if j < m*0.9:15 trainX.append(xArr[indexList[j]])16 trainY.append(yArr[indexList[j]])17 else:18 testX.append(xArr[indexList[j]])19 testY.append(yArr[indexList[j]])20 wMat = ridgeTest(trainX,trainY) #30组不同参数下的回归系数集

21 for k in range(30):#遍历30个回归系数集

22 matTestX = mat(testX); matTrainX=mat(trainX)23 meanTrain =mean(matTrainX,0)24 varTrain =var(matTrainX,0)25 matTestX = (matTestX-meanTrain)/varTrain #用训练参数标准化测试数据

26 yEst = matTestX * mat(wMat[k,:]).T + mean(trainY)#预测值

27 errorMat[i,k]=rssError(yEst.T.A,array(testY))#计算预测平方误差

28 #print(errorMat[i,k])

29 #在完成所有交叉验证后，errorMat保存了ridgeTest()每个lambda对应的多个误差值

30 meanErrors = mean(errorMat,0)#计算每组平均误差

31 minMean =float(min(meanErrors))32 bestWeights = wMat[nonzero(meanErrors==minMean)]#平均误差最小的组的回归系数即为所求最佳

33 #岭回归使用了数据标准化，而strandRegres()则没有，因此为了将上述比较可视化还需将数据还原

34 xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T35 meanX = mean(xMat,0); varX =var(xMat,0)36 unReg = bestWeights/varX #还原后的回归系数

37 constant = -1*sum(multiply(meanX,unReg)) + mean(yMat) #常数项

38 print("the best model from Ridge Regression is:\n",unReg)39 print("with constant term:",constant)40 returnunReg,constant41

42

43 if __name__ == "__main__":44 '''乐高玩具价格预测'''

45 #用交叉验证测试岭回归

46 ws2,constant = crossValidation(xmat,ymat,10)47 yHat2 = mat(xmat)*ws2.T +constant48 err2 =rssError(lgY.A,yHat2.A)49 cor2 = corrcoef(yHat2.T,lgY.T)

测试结果为相关性cor2：0.7874，平方误差和err2：3827083，与最小二乘法比较好并没有太大差异。其实这种分析方法使得我们可以挖掘大量数据的内在规律。在仅有4个特征时，该方法的效果也许并不明显；但如果有100个以上的特征，该方法就会变得十分有效：它可以指出哪些特征是关键的，而哪些特征是不重要的。

THE END．

37>