递归算法

1.递归算法

递归在计算机科学中也称为递归算法。一些问题在分解的时候会有这样的现象：解决该问题的过程是由重复的相似子过程组成，类似这样的问题我们都可以通过递归算法进行解决。在计算机语言中，递归算法的实现靠函数的自我调用来完成，我们所见到的大多数高级编程语言都支持这样的做法。

递归算法通常有两种方式实现——普通递归和尾递归。递归方法简单的来说就是方法的内部再次调用自身，递归方法会嵌套的参与运算。这样每一个递归方法都要分配一个函数堆栈进行操作，这就是普通递归。普通递归对内存的消耗是非常大的。

另一种递归方式被称为尾递归，尾递归对普通递归进行了优化。如果使用尾递归，需要将递归方式进行特殊的设计，它需要将递归方法在return语句后进行单独调用(即尾调用)。当采用尾递归的时候，一些编程语言会进行优化，将所有嵌套的递归方法放在同一个函数堆栈中进行，效率非常快。作为一名Java程序员，如果你无法将递归方法设计成尾递归的模式也没有任何问题，因为Java并没有对尾递归进行优化 ，Java对内存的优化是依赖于回收机制。但是如果你是一名C程序员，就需要对尾递归的写法进行掌握了。

递归算法的优缺点是非常明显，算法实现简单、可读性强是递归算法的优点所在。缺点也同样明显，递归算法会占用大量内存空间，如果递归深度过大，容易发生内存相关问题。所以在递归算法中，有这样一句话：不用递归累死，滥用递归慢死。如何合理的使用递归算法，是递归使用的关键问题。

2.怎么使用递归

在设计递归算法的时候，一定要注意两点：1、设计出等价的递归公式。这一点需要我们拥有一些数学基础以及抽象概括能力，能够在复杂的运行过程中，抽象出等价的函数关系。

2、递归退出的条件。这一点尤为重要，如果递归方法没有结束条件，就如同死循环一样，让内存和CPU直接"撑爆"。常见的递归练习方法有斐波那契数列和汉诺塔移动算法。

2.1 斐波那契数列(Fibonacci sequence)

斐波那契数列是经典的递归算法应用，它是一组有规律数列:"1,1,2,3,5,8,13……"，当我们要获取数列中第n位的数字时，可以总结如下公式：

当n=1或者2时，有f(n)=1，当>=3时，有f(n)=f(n-1)+f(n-2)

下面我们要设计一个方法，输出数列的前n位的信息，n通过整型参数控制。如果我们需要一个完整的数列，就需要创建一个数列容器，将数列中的每一位数字依次计算出来，并保存到容器中，最后按照顺序从容器中输出数列(如下列Java示例)：

使用数组保存斐波那契数列

采用上面的做法好处非常明显，它能够记录每一位数列的值。当我们需要获取整个数列的时候，这样的方式是可取的。在一些时候，我们只想获取其中一位的数值，我们就不需要记录数列，这个时候使用递归的方式就非常方便(如下Java示例所示)：

采用上述代码，可以直接获取到数列中第n位的数值。我们可以发现，使用递归的方式让代码更简洁、阅读起来更友好。下面我们创建两个测试方法，对上述两种方式进行测试：

运行结果：

2.2 汉诺塔(Hanoi)

汉诺塔是一种有趣的益智游戏，很多人在儿时都玩过这种类似的玩具(如下图所示)：

汉诺塔

汉诺塔的移动规则是将所有圆盘从A柱移动到C柱上，并保持上小、下大的有序顺序摆放。在移动的过程中，也需要保持这个规则。例如上图的三层汉诺塔，我们在移动的时候有如下步骤(如下图所示)：

三层汉诺塔移动步骤

如果有多个盘子，我们设盘子总数为n，我们可以分为两部分解决，一部分是上面的n-1个盘子，它们作为一个整体，另一部分是最下面的盘子n。它们移动可以分为三步：

1.将第一部分的n-1个盘子的作为一个整体，从A移动到B柱上，C柱过度。

2.接着将第n个盘子从A柱移动到C柱上。

3.再将n-1个盘子的整体从B柱移动到C柱上，A柱过度(移动规律如下图所示)。

N个盘子移动时的规律总结

用代码实现的时候，我们就可以利用递归的方式进行移动。下面代码中，我们为了观察移动过程中，各柱子上盘子的变化情况，我们用队列来模拟柱子(实现代码如下所示):

运行结果：

3.递归对循环的替代

在程序开发过程中，很多循环方法都可以使用递归来完成，例如数字的累加和阶层的计算(如下面代码所示)。

运行结果：

在上述示例代码中，我们用递归和非递归两种方式解决了累加、阶乘的循环问题。除此之外，在一些数据结构算法中，递归的使用也非常多，比如二叉树的遍历、排序等。在下面的示例中，我们使用递归的方法进行冒泡排序。

示例运行效果：

传统的冒泡排序需要借助双层循环进行排序交换。如果使用递归的方式，可以减少一层循环。在实际的排序中，我们是不推荐使用递归进行排序的，上述示例仅作为递归算法的一种思考。